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这道题以前看到过，是Jesus Torres作出的结果，发表在2014Forum Geometricorum上。
近代欧式几何研究领域中很多东西是没办法用所谓“纯几何”解决的，比如上面那本杂志就是以重心坐标为主。
他的论文：http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201430.pdf
近代欧式几何研究领域中很多东西是没办法用所谓“纯几何”解决的，比如上面那本杂志就是以重心坐标为主。
他的论文：http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201430.pdf
這題也是我的自編題, 不過後來發現是已知結論 
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需要用一個引理: 設 P_aP_bP_c 為 P 關於 ABC 的垂足三角形並且設 P_AP_BP_C 為 P_aP_bP_c 在位似變換 (P, -2) 下的像, 則 ABC 與 P_AP_BP_C 透視若且唯若 P 與 P 關於 ABC 的等角共軛點連線過 ABC 的九點圓圓心並且這條直線也過 ABC 與 P_AP_BP_C 的透視中心.
為了方便, 先將問題改敘述如下:
給定三角形 ABC 與其外心 O, 九點圓圓心 N. 設 O_a, O_b, O_c 分別為 (BOC), (COA), (AOB) 的圓心. N_a, N_b, N_c 分別為 N 關於 BC, CA, AB 的對稱點. 證明: O_aO_bO_c 的九點圓圓心在 N_aN_bN_c 的尤拉線上.
證明: 設 K 為 N_aN_bN_c 的外心 (即 N 關於 ABC 的等角共軛點), 熟知 K 是 ABC 與 O_aO_bO_c 的透視中心. 設 U_a, U_b, U_c 分別為 AO_a, BO_b, CO_c 的中點, 則 NU_a, NU_b, NU_c 分別垂直 BC, CA, AB. 設 V_a, V_b, V_c 分別為 N_aU_a, N_bU_b, N_cU_c 的中點, 則不難得到 V_aV_bV_cN 與 O_aO_bO_cO 位似, 所以 O_aO_bO_c 與 V_aV_bV_c 的位似中心 X 在 ABC 的尤拉線 ON 上.
設 H_n, N_n 分別為 N_aN_bN_c 的垂心, 九點圓圓心. 注意到 U_aK, N_aH_n 都垂直 N_bN_c 且 N_n 是 KH_n 的中點, 所以 V_aN_n 垂直 N_bN_c ---> V_aN_n || O_aK. 同理可得 V_bN_n, V_cN_n 分別平行 O_bK, O_cK, 所以 V_aV_bV_cN_n 與 O_aO_bO_cK 位似 ---> X 在 N_aN_bN_c 的尤拉線 KN_n 上.
設 ON 分別與 O_bO_c, O_aK 交於 D, E 且 O 在 O_bO_c, O_cO_a, O_aO_b 上的垂足分別為 O_a', O_b', O_c' (O_a'O_b'O_c' 即為 O_aO_bO_c 的 intouch triangle). 則注意到 ON 為 O_a'O_b'O_c' 的尤拉線且 N_a 為 O_a' 關於 O_b'O_c' 的對稱點可得 D 在 N_aO_a 上 (2012 China TST 1 Day 1 Problem 2 的推論).
設 X_A, X_B, X_C 分別為 X 關於 O_bO_c, O_cO_a, O_aO_b 的對稱點且 X_a, X_b, X_c 分別為 X_A, X_B, X_C 在位似 (X,-1) 下的像. 以下將證明 [X_aX_bX_c 與 O_aO_bO_c 透視且透視中心為K] ... (*), 所以由引理就得到 O_aO_bO_c 的九點圓圓心在 N_aN_bN_c 的尤拉線 XK 上:
由 (D,E;O,X) = O_a(D,E;O,X) = (N_a,U_a;infinity,V_a) = -1 得 DO/DX=EO/EX. 但由於 O_bO_c 是 AO 的角平分線, 所以 X_A, A, D 共線且 AO/XX_a = AO/XX_A = DO/DX ---> AO/XX_a = EO/EX ---> A, E, X_a 共線, 即 O_a, X_a, K 共線. 同理可得 K 在 O_bX_b, O_cX_c 上, (*) 得證.
.需要用一個引理: 設 P_aP_bP_c 為 P 關於 ABC 的垂足三角形並且設 P_AP_BP_C 為 P_aP_bP_c 在位似變換 (P, -2) 下的像, 則 ABC 與 P_AP_BP_C 透視若且唯若 P 與 P 關於 ABC 的等角共軛點連線過 ABC 的九點圓圓心並且這條直線也過 ABC 與 P_AP_BP_C 的透視中心.
為了方便, 先將問題改敘述如下:
給定三角形 ABC 與其外心 O, 九點圓圓心 N. 設 O_a, O_b, O_c 分別為 (BOC), (COA), (AOB) 的圓心. N_a, N_b, N_c 分別為 N 關於 BC, CA, AB 的對稱點. 證明: O_aO_bO_c 的九點圓圓心在 N_aN_bN_c 的尤拉線上.
證明: 設 K 為 N_aN_bN_c 的外心 (即 N 關於 ABC 的等角共軛點), 熟知 K 是 ABC 與 O_aO_bO_c 的透視中心. 設 U_a, U_b, U_c 分別為 AO_a, BO_b, CO_c 的中點, 則 NU_a, NU_b, NU_c 分別垂直 BC, CA, AB. 設 V_a, V_b, V_c 分別為 N_aU_a, N_bU_b, N_cU_c 的中點, 則不難得到 V_aV_bV_cN 與 O_aO_bO_cO 位似, 所以 O_aO_bO_c 與 V_aV_bV_c 的位似中心 X 在 ABC 的尤拉線 ON 上.
設 H_n, N_n 分別為 N_aN_bN_c 的垂心, 九點圓圓心. 注意到 U_aK, N_aH_n 都垂直 N_bN_c 且 N_n 是 KH_n 的中點, 所以 V_aN_n 垂直 N_bN_c ---> V_aN_n || O_aK. 同理可得 V_bN_n, V_cN_n 分別平行 O_bK, O_cK, 所以 V_aV_bV_cN_n 與 O_aO_bO_cK 位似 ---> X 在 N_aN_bN_c 的尤拉線 KN_n 上.
設 ON 分別與 O_bO_c, O_aK 交於 D, E 且 O 在 O_bO_c, O_cO_a, O_aO_b 上的垂足分別為 O_a', O_b', O_c' (O_a'O_b'O_c' 即為 O_aO_bO_c 的 intouch triangle). 則注意到 ON 為 O_a'O_b'O_c' 的尤拉線且 N_a 為 O_a' 關於 O_b'O_c' 的對稱點可得 D 在 N_aO_a 上 (2012 China TST 1 Day 1 Problem 2 的推論).
設 X_A, X_B, X_C 分別為 X 關於 O_bO_c, O_cO_a, O_aO_b 的對稱點且 X_a, X_b, X_c 分別為 X_A, X_B, X_C 在位似 (X,-1) 下的像. 以下將證明 [X_aX_bX_c 與 O_aO_bO_c 透視且透視中心為K] ... (*), 所以由引理就得到 O_aO_bO_c 的九點圓圓心在 N_aN_bN_c 的尤拉線 XK 上:
由 (D,E;O,X) = O_a(D,E;O,X) = (N_a,U_a;infinity,V_a) = -1 得 DO/DX=EO/EX. 但由於 O_bO_c 是 AO 的角平分線, 所以 X_A, A, D 共線且 AO/XX_a = AO/XX_A = DO/DX ---> AO/XX_a = EO/EX ---> A, E, X_a 共線, 即 O_a, X_a, K 共線. 同理可得 K 在 O_bX_b, O_cX_c 上, (*) 得證.
