中国现代割圆术

有些数学水平较高的人，看到割圆术公式里的三角函数，肯定会说，计算三角函数要用到π，你再用三角函数来求π，有点用π来求π的味道，这种观点能迷惑很多人，为什么会出现这样的观点？因为一些人不了解三角函数的历史，早期的三角函数计算基本用不到π，只跟几何、勾股定理有关，此时期的三角函数计算是非常复杂的，后来对数出现后，进一步简化了计算，再后来泰勒公式出现了，改用弧度来计算三角函数，才把π牵涉进来。
在割圆术公式里计算三角函数，肯定不能用到π，只能用角度，理论上可以用任意角度来算，但非常复杂，所以割圆术只选取几个特殊角度：90°、60°、45°、30°来计算，特别是sin90°、tan45°,一般人都能口算出来，再运用半角公式，就能无限逼近0°,专业公式就是这样诞生的。
在割圆术里，我们把一个圆假设成由无数个直角三角形组成，此时三角形的一个边构成直径，无数个邻边构成圆周，通过计算相应的角就能得到邻边的长度，进而得到整个圆周的长度。圆周出来了，π自然就出现了。

在公式出现以前，大家只是知道一个割圆术的原理，真正要计算时，却感到很难下手。
割圆术公式出现后，再想计算圆周率，那就比较简单了，
一般人计算，只要用基本公式查三角函数表即可（角度越小越好），这种方法非常简单但精度较低，要想得到高精度的圆周率，最好是用专业公式来计算。
为什么会出现两个基本公式呢，因为割圆有内割和外割之分，sin类公式属于内割，tan类公式属于外割，最后得到的专业公式同样也是有内割和外割之分的。
割圆术，顾名思义，就是在正多边形的基础上翻倍的割（算），因而得到的专业公式跟2……有着千丝万缕的联系，这类公式比国外的同类公式更加简捷优美。

割圆术的基础公式是用角度来推导的，当将其改成弧度制时，将会变成大名鼎鼎的极限公式：
在弧度制中，π＝180°，所以
π＝180°sinθ∕θ变成sinθ/θ＝1；
π＝180°tanθ∕θ变成tanθ∕θ＝1。
割圆术公式本身就是用极限的原理推导的，得到的最终结果其实也是一个极限公式，同理，用弧度制的极限公式也能推导出割圆术的专业公式，只要令θ＝π/2或π/4即可。
学过极限的人都知道极限公式，但多数人并不知道它同时也是一个割圆术公式，至此，极限公式从另一个侧面也证明了割圆术公式的正确性。

在三角函数类的割圆术公式中，还有一些是用边数来求取的，
在π＝180°sinθ∕θ 、 π＝180°tanθ∕θ 基础上，令θ＝180°∕n，即可得到：
π＝nsin(180°∕n) 、
π＝ntg(180°∕n) 、
（n→∞）
这类用边的公式计算不如用角的简单，虽然用边，但最后都要化成角来计算，严格来说不是最简公式

如何用割圆术公式来模拟计算祖率，据测算，要将正六边形割至24576边才能达到。
先用基础公式来查表计算：
θ＝180°∕24576＝0.00732421875°
π＝180°sinθ∕θ＝180°sin0.00732421875°∕0.00732421875°
＝3.1415926545
π＝180°tanθ∕θ＝180°tan0.00732421875°∕0.00732421875°
＝3.1415926707
还可用专业公式来计算：
公式精度为n=A/0.56=7/0.56=13
即开13个根号后再选上2^13即可。
π＝ 2＾13√（2-√（2+…√2）…）
＝3.1415926

在割圆术基础公式中，除了用来表示圆周率公式外，还可表示极限公式，还可以表示1弧度公式或1角度公式。
如：将公式π＝180°sinθ∕θ变形为
180°∕π＝θ∕sinθ （弧度公式）
π∕180°＝sinθ∕θ （角度公式）
（θ→0°，θ＞0°）
1弧度＝180°∕π＝θ∕sinθ＝57.29577 95131°
1角度＝π∕180°＝sinθ∕θ＝0.01745 32925 rad
从以上的各种变形公式可以看出，割圆术公式跟极限、三角函数、角度、弧度等有着极其密切的关系，而且还给极限、角度、弧度等增加了新的内容，至此，古老的割圆术终于有了一个圆满的结局

割圆术两公式一个是根据2,4,8,16……割的，一个是根据6,12,24……割，据此，我们还有根据5,10,20……的割法，15,30,60……的割法，17,34,68……的割法，……

以前一提到割圆术，古代的都是故事，没有公式。现在用数字语言全面描述，便出现了公式，

arctan1展开，arctan1分开多个后再展开更快