实数a,b 若a≠b，则存在实数c使得a＜c＜b或b＞c＞a。

两个实数之间总是有“序关系”的（实数的公理）。就算不知道什么是相等，小于总是可以成立的吧。如果一切小于a的数都小于b，且一切小于b的数都小于a，那么定义a与b相等。

其实如果如楼上说的序关系这样，然后这个序关系是全序关系，那要么a<b要么a=b要么a>b，这时候就能判定是否相等了。不过有时候序关系也不是那么容易判断的。

其实需要的不是相等的定义，而是小数的定义

0.999……到底是不是一个确切的实数？如果是，是哪个实数？如果这个都确定不了，没法谈它等不等于1。

先定义实数，然后定义实数的大小。
定义实数，为数轴上点的符号化表示方法。
表示方法采取：区间套方法。
区间套极限可证明只包含单一点（即：区间套长度收敛于0）。实数表示法，即为对区间套的标记。
两个实数，即便表示方法不同，只要对应数轴上的同一点，依然定义为相等。
选取，1-0.0001和1+0.0001 （0.0001代表可任意减小的数）区间，即可证明0.999……=1.000……
这两个数，为数轴上同一个点的两个不同实数表示方法。
严格的从实数定义开始的证明就这么简单。
最简单的解释0.99……=1的方法： 告诉他们什么是极限。
0.9, 0.99，0.999这个数列是不是越来越接近1？ 是不是可以任意接近于1.
承认的话，那很好，我规定：数列的极限的意思就是，一个数列，其不断延长，可以任意接近一个数a时。我就说a是这个数列的极限。
那么1，是0.9, 0.99，……这个数列的极限。
我现在，用0.99……来表达0.9,0.99，……这个数列的极限。
请注意，我不是重新给这个数列找了个极限，我只是机械的，用一个我喜欢的符号“0.99……”，来记录这个极限。
刚才我证明了，1就是这个数列的极限。那么我找到的这个符号“0.99……”是不是就是1？
说到底，0.99……只是一个符号，它等于啥，取决于你如何定义，取决于你怎么规定这个符号的意思。

因为实数和小数不是一一对应的

1、这里蕴含了极限的思想，可以做以下简单定义：
对于两个实数a和b，如果不存在这样的数c，介于a和b之间，定义为a=b。反只，则a≠b。
举例：0.999.... 和1是否相等，按照目前的数学理论（这个很重要），你还不能举出0.999.... 和1之间存在第3个数的反例。至少以目前人类的认识，0.999...=1是正确的。
2、这里有两个问题（也可以是无限多个问题）：
（1）什么是实数（德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义）
（2）然而我想说的重点在这里，定义中用的是“介于”，不是大于号、小于号。
3、有悖论吗？所以我还要说明以下几点：
（1）至于什么是“介于”，这又是另外一个问题。比如在数轴上，”介于”可以表达为两个不同位置之间。
（2）然而数轴上两个不同位置可以定义为一左一右。然而什么是左...什么是右...，所以我们还要给出数学公理。然而什么是数学公理。。。
（3）于是人类最终回归哲学。数学是百科之母，然而哲学是百科之父
4、随着人类和科学的进步，人类也许还会发现尚未认识到的其它形式的数值。
正如伟大的数学家毕达哥拉斯，相信有理数就是数的全部，现实中任何量都可以用有理数表示，整数和分数构成了所有的数。然而他的具有独立思考精神的弟子希帕索斯却发现了一个“绝对无法用有理数表示的量，隐藏在勾股定理中的那个量”，这个量的表示正是无理数。还有很多无理数（圆周率π、自然常数e、黄金分割数φ），正是这些数描述了这个宇宙的本质。
5、写在最后，感觉我在与神链接。