k²＝∑（a²+b²＋c²＋d²＋e²），...，
k2＝（ab＋ac＋ad＋ae＋bc＋bd＋be＋cd＋ce＋de），...，
例（1，2，3，5，7）＝1
k＝18，k2＝118，k3＝348，k²＝88，k³＝504，则kk2＝2124

你的符号有点乱。
你可以套用下列关于对称多项式的牛顿公式去推导一下。

你的kk²－k³+3k3＝kk2转成上述符号就是s[1]s[2]-s[3]+3σ[3]=s[1]σ[2];
上述公式不需要限定是n=5个也无需你的互素条件。
s[1]=σ[1]=x1+x2+...+xn
s[2]-σ[1]s[1]+2σ[2]=0 所以s[2]=σ²[1]-2σ[2]
s[3]-σ[1]s[2]+σ[2]s[1]-3σ[3]=0 所以
s[3]=σ[1]s[2]-σ[2]s[1]+3σ[3]=σ³[1]-3σ[1]σ[2]+3σ[3]
带入原式中有s[1]s[2]-s[3]+3σ[3]-s[1]σ[2]
=σ[1]（σ²[1]-2σ[2]）-（σ³[1]-3σ[1]σ[2]+3σ[3]）+3σ[3]-σ[1]σ[2]
=0