方程转为（2x³+y）²=y ²(9+4y)
可知9+4y是平方数，设9+4y=(2z+1)² ，可得到y=z² +z-2=(z+2)(z-1)
那么 2x³+y=±y（2z+1） 可得到 x³=(z-1)z(z+2) 或 x³=-(z-1)(z+1)(z+2)
（1）若x³=(z-1)z(z+2)
注意 (z-1)z(z+2) -(z-1)³=(z-1)(4z-1)≥0
(z+2)³-(z-1)z(z+2) =(z+2)(5z+4) 仅在z=-1 处小于0，其他处均大于等于0。
而z=-1时 (z-1)z(z+2) =2非立方数。
所以可知x只可能等于z-1,z,z+1,z+2四个数
①x=z-1 ；(z-1)³=(z-1)z(z+2) 解得z=1,y=0,x=0
②x=z; z³=(z-1)z(z+2) 解得z=0或2
z=0时 y=-2, x=0
z =2时 y=4,x=2
③ x=z+1; （z+1）³=(z-1)z(z+2) 化简可得到2z²+5z+1=0 此方程无整数解。
④ x=z+2 ; （z+2）³=(z-1)z(z+2) 解得z=-2, y=0,x=0
（2）若x³=-(z-1)(z+1)(z+2) ，留给吧友自行补充。

谢谢

有个邻帖19x-15y＝31的，其通解应为x＝15t-11,y＝19t-16，则t为正整数的条件必选作统一的原则，则给出较小的参数，证明依据到位

3楼。一个数的立方等于三个数的积，该数不可能是最大数最小数，只可能是中间若干数，二中间数只有两个，容易验算。