好吧，题目有点问题，因为如果有k=k'=k''满足题意，就肯定有k=k',k''=k也满足题意。所以我要改一下题目：
若等式Ae^(ikx)+Be^(ik'x)=Ce^(ik''x)对于任意x都成立（其中A,B,C都不为0，i为虚数单位），那么是否能得出k=k'=k''？如果能，如何证明？

可以，等式两边做傅里叶变换。

楼上用傅里叶变换的方法我实在学不会，虽然可以直观地想出但具体怎么算实在不会。下面是我找到的一个比较初等的方法，可能会有些冗余和啰嗦。

上面的图有点太宽了，直接看看不清楚，发个窄的。

上图中有一处小错误，最后通过初等行变换化成的矩阵不对，应该如下
我不应该把第二行第三列的元素看成是非零的，因为只有它是非零元才可以用来消去上下两个元素。
不过不影响结果，直接用上面这个矩阵替换掉原来图中的矩阵，仍然可以通过一样的方法得到最终的结论。