矢量定义中“按照相同的方式变换”是什么意思？我们知道，位置矢量在更换坐标系时其分量在新坐标系下的表示会发生相应的变化。现在我们以位置矢量的这种变换性质为基准来定义矢量：只要在坐标变换时满足和位置矢量一样的坐标变换规律的量我们都叫它矢量。这意味着即使矢量的各个分量不代表空间坐标，在坐标变换时也和位置矢量一样具有相同的变换行为，或者说像位置矢量一样变换。这就是“按照相同的方式变换”的意思。
在这个定义下，位置矢量天然就是矢量。
这样的矢量定义其实要比那种“有大小有方向的量”的定义要更加严格，因为不是任何一堆量凑在一起就是矢量，尽管它也可以有大小和方向，但必须在坐标变换时像位置矢量那样变换才行。

具体到相对论，我们将三个空间坐标和一个时间坐标放在一起，表示一个四维时空的位置矢量，则这个四维位置矢量在坐标变换时满足洛伦兹变换。
那么在坐标变换时，四维电流密度矢量和四维势矢量的各个分量将替代洛伦兹变换中的各个四维坐标分量进行变换，得到新坐标下的相应矢量的分量。
下面说说为什么要假设这些量是矢量。
我们都知道时空位置坐标在坐标变换时满足洛伦兹变换，但是其他物理量（比如电磁理论中的物理量）在坐标变换时会发生怎样的变化则需要进一步的假设，而假设的原则是保证物理规律的一致性，这是相对性原理的要求。
而物理规律的一致性体现在物理方程形式的不变性，我们把这种在洛伦兹变换下物理方程形式的不变性称为洛伦兹协变性。
这样一来，相对论的一大任务就是把麦克斯韦的那套理论纳入到自己框架中来，使电磁理论中的所有物理方程都具有洛伦兹协变性。为了实现这一点，一个方法就是假设一些电磁学物理量凑在一起构成矢量，当发生坐标变换时，这些量的各个分量按照和四维坐标矢量一样的方式变化，变化后仍然满足电磁学方程，使电磁学方程保持不变，即具有洛伦兹协变性。
实验证明，这样的假设是正确的。

好帖子!学习中!

天然矢量，用词精准!

把相对论引入到电磁理论中，相对论的尺缩钟慢效应在电磁理论里很令人费解，因为低速也能伴随磁力产生，而相对论说接近光速才能明显感受到……

除了把电磁学方程纳入相对论框架中外，相对论的又一大任务是把力学方程也纳入自己框架中。实现过程与电磁学方程不同的地方在于，电磁学方程可以在完全不需要修改的情况下拥有洛伦兹协变性，而经典力学方程显然是具有伽利略协变性的，自然就没有洛伦兹协变性了。
因此力学方程需要修改，在修改原则方面，除了使方程具有洛伦兹协变性外，还要继续满足两个守恒律：能量守恒定律和动量守恒定律。
为了保证动量守恒定律继续成立，首先修改动量的定义（质量乘以速度的基础上再乘以一个洛伦兹因子）然后模仿经典力学把力继续定义成动量的时间变化率。
接着继续模仿经典力学把动能的时间变化率继续定义成力作用的功率，把力和动量的定义式逐层代入，对时间积分得到动能和速度之间的关系式。然后对这个关系式的各项的物理意义进行大胆假设，就得到了著名的质能关系式。
注意，质能关系式确实是一个大胆的假设，因为它定义的东西是不是能量由其是否满足能量守恒定律作为判别标准，而这一点只能由实验验证。

实际上单独的力学方程是体现不了物理规律的，它只提供了力、动量和能量的定义，当只有把洛伦兹力公式和力的定义联系起来的时候，才是一条有效的物理定律，此时力只是作为沟通电磁相互作用与运动的桥梁：只要电荷处在如此的电磁场环境中，它就会有这样的动量变化率。在上述的描述中完全没有出现力这个概念，但对物理规律的描述仍然是完备的。

将四维位置矢量对固有时求导，由于固有时是标量（无论坐标如何变换都不变的量），所以求导结果仍是矢量，称为四维速度矢量。用质量乘以这个四维速度矢量，由于质量也是标量，所以得到的还是一个矢量，称为四维动量矢量。巧合的是，这个矢量刚好就由修改定义后的动量与能量凑成。
继续将四维动量矢量对固有时求导，得到一个矢量，将其定义为四维力矢量，结合力和力功率的定义可以看出：四维力矢量刚好由力的洛伦兹因子倍和力功率的洛伦兹因子倍凑成。
更加巧合的是，洛伦兹力公式可以在不修改的情况下由四维力矢量、电磁场张量和四维速度矢量改写成明显的洛伦兹协变形式，从而验证了洛伦兹力公式的洛伦兹协变性。

平面单色光的波矢量（3维）的方向代表了光的传播方向，大小为波数，代表了传播方向上单位长度的波动个数的2π倍，而角频率则代表了同一位置在单位时间里波动次数的2π倍，因此，如果假设光速为1，那么波数就与角频率相等，那么波矢量的模方减去角频率的平方就等于0，而且无论坐标如何变换它都等于0（相位不变性）。
这就意味着它们构成的整体和四维坐标矢量一样，拥有和线元不变性类似的性质，即其模在洛伦兹变换下保持不变的性质。这就说明了波矢量和角频率可以凑成一个矢量，称为四维波矢量。
四维波矢量在坐标变换时各个分量进行洛伦兹变换，其中波矢量（3维）方向的变换对应光行差效应，角频率的变换对应多普勒效应。

前面说过，将电场强度和磁感应强度的各个分量凑成电磁场张量，就可以将麦克斯韦方程组写成明显的洛伦兹协变形式。电磁场张量是一个二阶张量，那么什么是二阶张量？
二阶张量可以理解为一堆量排成的矩阵，但和矢量一样，不是随便一些量凑一起构成的矩阵就是二阶张量，它的各个分量在坐标变换时需要满足一定的变换规律，这个变换规律只由坐标变换方式决定。从这一点上来说，二阶张量和矢量没有什么区别，都是在坐标变换时其分量发生相应变化的量。
因此，电磁场张量就是在坐标变换时像二阶张量那样变换的量。其各个分量由电场强度和磁感应强度的各个分量组成，因此更换坐标系时其分量的变化就是电场强度和磁感应强度各个分量的变化。由此可见，电场强度和磁感应强度被统一成了电磁场张量，或者说电场和磁场被统一成了电磁场，电场和磁场只不过是电磁场这个整体的分量而已。
如果一个电荷在某个惯性系中是静止的，那么在这个惯性系中只存在电场，但在另一个相对运动的惯性系中，这个电荷是运动的，这时候就既有电场又有磁场了。如果把电场和磁场分开对待的话，这个结果是很奇怪的，磁场竟然在一个参考系里有而在另一个参考系里没有。但如果能把电场和磁场看作一个整体，变换参考系时整体不变，只是作为分量的电场和磁场变了，那么，磁场作为整体的分量在坐标变换时“无中生有”就没有什么好奇怪的了。这个整体就是电磁场（张量）。

看着挺快活。

不过关于矢量的说法，就是矢量那里觉得略突然，矢量是有通用的定义的吧。

对力、动量以及能量的定义本身就蕴含了不与外界发生相互作用的系统的动量守恒和能量守恒。但对于空间中某个小区域中所有粒子的动量和能量的守恒情况的描述却仍未提及。
如果小区域中的粒子不与外界发生相互作用，并且一直被困在小区域中，那么小区域中的粒子就保持能量守恒和动量守恒，似乎只需要能量密度和动量密度来描述即可，但如果有粒子流出或流入该区域，区域中能量和动量将不再保持守恒。这时候如果把流出流入的粒子的能量和动量扣除，那么区域中能量和动量将继续保持守恒。
因此我们还需要能量流密度来描述粒子能量的流进流出，需要动量流密度来描述粒子动量的流进流出。将能量密度、动量密度、能量流密度和动量流密度的各个分量凑在一起，可以构成一个二阶张量，称为能量动量张量，简称能动张量。
能动张量描述了单位体积内粒子能量和动量的分布和流动。当某位置的粒子不受外力作用，或把外力场也考虑进来时，能动张量的散度就等于零，其物理意义就是，该位置的微小体元内减少（增加）的能量就等于流出（流入）该微小体元的能量；该位置的微小体元内减少（增加）的动量就等于流出（流入）该微小体元的动量。

最后说说四维表述的好处，这个帖子的生命也就随之走到尽头了（虽然这个帖子也没讲什么）。
四维表述的最大好处恐怕就是找到一个更深刻地理解狭义相对论的方法，并为进一步学习广义相对论开一个好头。
初学狭义相对论的人一般被要求抛弃绝对时空观的思维，把一切都看成是相对的，什么钟慢什么尺缩，换一个参考系时间就慢了，换一个参考系长度就短了，感觉一切都在变。但现在要想得到更深刻的理解，思维要变回去，找到不随坐标变换而变化的绝对不变的东西，这个东西就是张量（矢量是一阶张量）。
感觉变换坐标以后空间和时间都在变是习惯把空间和时间分开对待的结果，如果能认识到洛伦兹变换是四维闵可夫斯基时空中的旋转变换，把时间和空间作为四维时空中的一个四维矢量来看待，就能很明显地发现时间和空间只是四维坐标矢量的分量，洛伦兹变换只是更换了坐标系，那么作为矢量的四维坐标矢量本身不发生变化，只是矢量在坐标系下的表示（投影）发生了变化。也就是说时间和空间只是作为一个整体的分量发生变化，这个整体是不变的。
“道理我都懂，可是到底是谁的时间变慢了呢？”如果能以四维观点来看待时间和空间就不会问这种问题了，因为时间和空间所组成的整体是矢量，这个整体是不变的，与坐标系无关的，是绝对的，但你问这个整体的分量如何如何就取决于坐标系的选取了，不同的坐标系选取会有不同的结果，所以一切脱离坐标系来讨论矢量分量的行为都是耍流氓。
另外，以四维形式（张量）的思维来理解狭义相对论，也有助于更好地开始学习广义相对论，毕竟广义相对论的核心基础就是基于四维时空的弯曲。当然不要以为看了我这个水帖就以为能轻易地入门广义相对论，毕竟我这个帖子也只是狭义相对论内容的拼凑总结，至于入门广义相对论还要老老实实地先打好相关的数学基础（一点点微分几何知识）。