a-1和b-1保证是正整数了吗？

要满足a-1和b-1为正整数则a和b都有>=2，那么在第二步归纳奠基里Max（a，b）=1不可能成立即Ａ1不成立。所以归纳错误，可能你会怀疑如果A1不成立我们把范围缩小一点从Ａ2开始呢？ 事实上这题的陷阱在于Ａ1的特殊性因为正整数A1显然使a=b=1，但是显然Ａ2Ａ３……可以轻易看出不成立如Max（1，2）=2。

这本教材上的归纳法和我学到的格式上不太一样。我的习惯是先提出基本情况P(1)(Base step)然后再假设P(k)成立推出P(k+1)成立(Inductive step)。感觉这样的话会更清晰一些。这个证明的问题在于书上a)中递推的这一步。仔细看你就会发现{(a, b) | max(a, b)=r for all a, b, r in N}和{(c, d) | max(c, d)=r+1 for all c, d, r in N}这两个集合的元素个数不一样多，明显后者的元素个数更多一些。所以a)不成立因为在从A_{r}推到A_{r+1}的时候没有考虑到所有的情况（反例：(a, b+1)，(a+1, b)）。这个证明实际上证明了对于任意正整数n，存在正整数a和b满足max(a, b)=n且a=b。

类似的假证明：已知一个人的两眼颜色相同（忽略那些虹膜异色者），假设n人的眼睛颜色相同，那么n+1人也相同。因此所有人的眼睛颜色都相同。错误在于一开始应该验证的是两个人的眼睛颜色相同，而不是一个人。

吃瓜

过度演绎