20200921丨填数进矩阵，使每个田字格都得25

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11.6.2.9

(12.5.9.2)(7.1.10.4)(11.6.8.3)，其对角线是21/18

我也来凑一个答案：
3、9、4、12
2、11、1、8
5、7、6、10

原题：
一，不难证明：第一行、第三行的四个数的“和”=28，第二行的四个数的“和”=22。
这是必要条件，这为解题提供了入手点，即：找两组“和”都等于28的、没有重复的四个数，填入第一行、第三行。比如第一行1、4、11、12，第三行3、6、9、10，余下的四个数2、5、7、8备用（可行时，适当地填入第二行）；
二，算出1、4、11、12的所有“两数之和”：5、12、13、15、16、23；
算出3、6、9、10的所有“两数之和”：9、12、13、15、16、19。
发现这两组“两数之和”有4个是一样的：12、13、15、16。
三，由“12、13、15、16”可把“1、4、11、12”调整为“4、11、1、12”，相应地可把“3、6、9、10”调整为“6、9、3、10”。
四，由“4、11、1、12”，为凑成“25”，可知第二行的三个“两数之和”应该是“10、13、12”，而这恰好由余下的“2、5、7、8”调整为“2、8、5、7”。
即得到如下一个答案：
4、11、1、12
2、8、5、7
6、9、3、10。
用以上方法，可以得到本题的全部答案。

从8楼所说可知，以下三种情况可判定无解。
第一种情况：不满足“28、26、28”。这种情况极易判定；
第二种情况：“两组‘两数之和’”一样的不足4个。这种情况较易判定；
第三种情况：“两组‘两数之和’”一样的有4个，但不能配齐“25”。
练习题：以下给出两个“四数组”，请分别判定是否有解；有解的，请给出解：
（1）（1、4、11、12）与（2、7、9、12）；
（2）（1、4、11、12）与（2、7、9、10）；
（3）（1、4、11、12）与（5、6、7、10）；
（4）（3、4、9、12）与（5、6、7、10）。

9楼练习题：以下给出两个“四数组”，请分别判定是否有解；有解的，请给出解：
（1）（1、4、11、12）与（2、7、9、12）；
（2）（1、4、11、12）与（2、7、9、10）；
（3）（1、4、11、12）与（5、6、7、10）；
（4）（3、4、9、12）与（5、6、7、10）。
解答：
（1）因为 2+7+9+12=30，不满足“28、26、28”，所以无解；
（2）（1、4、11、12）的“两数之和”是：5、12、13、15、16、23，
而（2、7、9、10）的“两数之和”是：9、11、12、16、17、19。
“两组‘两数之和’”一样的，只有2个，所以无解；
（3）
①（1、4、11、12）的“两数之和”是：5、12、13、15、16、23，
（5、6、7、10）的“两数之和”是：11、12、15、13、16、17。
“两组‘两数之和’”一样的，有4个:12、13、15、16，所以可能有解。
②与12、13、15、16之和等于25的，分别是13、12、10、9。
用（1、4、11、12）与（5、6、7、10）之外的2、3、8、9，只能凑出10、12两个，所以无解；
（4）
①（3、4、9、12）的“两数之和”是：7、12、15、13、16、21；
（5、6、7、10）的“两数之和”是：11、12、15、13、16、17。
“两组‘两数之和’”一样的，有4个:12、13、15、16，所以可能有解。
②与12、13、15、16之和等于25的，分别是13、12、10、9。
用（3、4、9、12）与（5、6、7、10）之外的1、2、8、11，能凑出13、12、10、9，所以有解；
③不难写出答案：
3、9、4、12
2、11、1、8
5、7、6、10；
或
4、9、3、12
1、11、2、8
6、7、5、10。
等等，但实际上是同一个解。
真诚期待@芬、@99qqqjr2 @QWES
等吧友评点。

“解的个数”探究：



二，把上面3行7列数表左右翻转，可得下列数表：
你认为这应该是8个解或2个解还是算一个解？

@99qqqjr2
经过几天来枚举计算，我得到了如下5个“基本解”（第一行从小到大排列）：
（1）
1、8、10、9
11、5、2、4
3、6、12、7；
（2）
1、12、4、11
5、7、2、8
3、10、6、9；
（3）
2、6、11、9
10、7、1、4
3、5、12、8；
（4）
2、9、5、12
4、10、1、7
3、8、6、11；
（5）
3、9、4、12
2、11、1、8
5、7、6、10。


这就找到了全部的解。
（尚待复查）

@asdx3611，双胞胎图
1.5.7.11.
12.9.6.3.
4.2.10.8.
1.5.7.11.
9.12.3.6.
4.2.10.8.

数据分析：
请结合下例理解“数据分析”：

容易证明以下三个数据关系：
一，28 — 22 — 28


二，相等的“两数和”


三，“差3”

有了15楼的数据分析，我们可以通过枚举，找出问题的全部的解。
一，把所有“和=28”的“四数组”按一定顺序写出，比如：（1，4，11，12）、（1，5，10，12）、……，（5，6，7，10）、（5、6、8、9）；
二，把“和=28”的“四数组”按“无相同数”的要求，写出所有“两组对”，比如：（1，4，11，12）可分别与（2，7，9，10）、（3，6，9，10）、（3，7，8，10）、（5，6，7，10）、（5、6、8、9）配对；
三，利用15楼的数据分析，对所有“两组对”进行考察
1，有很多容易排除；
2，有一些要仔细匹配后写出解。
说明：
一，以上的一、二，细心点就不难完成；
二，上面的三1，可根据一些原则去做，也不难完成；
三，最后一步三2求解，有一定难度，特别是要做到不遗漏。
四，下次给出我找到的解。

四朵金花
4.10.3.9.
11.1.12.2.
8.6.7.5.
4.10.3.9.
1.11.2.12.
8.6.7.5.
4.10.3.9.
11.1.12.2.
6.8.5.7.
4.10.3.9.
1.11.2.12.
6.8.5.7.

我来一个3X3的，每个2X2田字格四个数之和等于20：
3 8 1
4 5 6
9 2 7