递降法
m=n时仅有解m=n=1,此时有m²+n²+1=3mn
若m≠n，不妨设 m<n , m²+n²+1=Lmn （1）
注意 m²+(Lm-n)²+1=L×m×(Lm-n)
[注：将 （1）是看成n的二次方程，n为一解，另一解必为Lm-n ,也可直接验证]
注意 0<Lm-n=(m²+1)/n<m
即方程（1）得到更小的一组解 m1=Lm-n, n1=m
按此规律，可得到递降数列 m>m1>m2....
因mi>0 ,故只能递降过程为有限步，设为k步，
且最后一步必有mk=nk【否则按前述分析可继续递降】
此时mk=nk=1, 仍有mk²+nk²+1=L×mk×nk ，故L=(mk²+nk²+1)/（mk×nk）=3
所以 m²+n²+1=3mn
m=n时仅有解m=n=1,此时有m²+n²+1=3mn
若m≠n，不妨设 m<n , m²+n²+1=Lmn （1）
注意 m²+(Lm-n)²+1=L×m×(Lm-n)
[注：将 （1）是看成n的二次方程，n为一解，另一解必为Lm-n ,也可直接验证]
注意 0<Lm-n=(m²+1)/n<m
即方程（1）得到更小的一组解 m1=Lm-n, n1=m
按此规律，可得到递降数列 m>m1>m2....
因mi>0 ,故只能递降过程为有限步，设为k步，
且最后一步必有mk=nk【否则按前述分析可继续递降】
此时mk=nk=1, 仍有mk²+nk²+1=L×mk×nk ，故L=(mk²+nk²+1)/（mk×nk）=3
所以 m²+n²+1=3mn
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2楼2021-03-09 15:10
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