最简单了，你说不等于1，那么他等于几？
他是不是实数？
他大于1还是小于1？
假设x=1-0.9循环？
那么x是不是实数？
x等于几？
x大于0还是小于0？
楼主先回答下我这些问题吧

证明：
设A={所有小于1的有限小数}，B={所有小于0.999…}的有限小数。
那么显然supA=1，supB=0.999…。
但是
x€A=>x€B，以及x€B=>x€A。其中€是元素属于集合的符号。
因此A=B。
因此1=0.999…。

假设0.999...<1
考虑有限小数X=0.999...9(n个9)=1-10^(-n)
则X>0.999...
⇔1-10^(-n)>0.999...
⇔10^(-n)<1-0.999...
⇔n>-lg(1-0.999...)
即当X有-lg(1-0.999...)位以上时，X>0.999...
两边同减去X有0>0.000...0999...
而0.000...0999...为正数，矛盾。
来来来来来告诉我错在哪里

我来个
已知 1/3=0.33333……
等式两边同时*3
1=0.9999……
完

这里附上我对公理、定义以及0.999...的理解。
将实数0.999...定义为序列0.9,0.99,0.999,...的极限，或者集合{0.9,0.99,0.999,...}的上确界，那么它就等于1，这没有疑问。
你反驳别人在实数定义下的“0.999...=1”，无非就是在质疑集合论公理或实数公理。
公理我就不报菜名了，扔给你最值得质疑的：
乘法逆元存在性。对于任意x≠0，存在x'使得x'·x=x·x'=1。想拿1-0.999...举反例？非常遗憾，实数定义下这个数等于0。
完备性公理/连续性公理。很多等价形式，来几个直观的。
戴德金原理：若非空集合X，Y的元素满足x≤y恒成立，则存在c使得x≤c≤y恒成立。
确界原理：有上界实数集必有上确界。
如果你认为此类公理错误，来点反例。友情提醒，不要拿0.999...相关的数举反例，因为实数定义下它等于1。

逐点回复。
三楼：
用有限小数的集合完全没有问题。确界原理确保了一个实数集合，有上界必有唯一上确界，这里不存在任何偷换，因为本来就是同一个集合。至于你说的有限和无限无关，无限不就是从有限推出来的？你见过什么东西从头到尾没有一点有限内容？我随便拿个非空集合，再取一个元素，有限就出现了捏
改为任意小数的集合后我认为仅按照定义是无法证明了，需要别的过程，你们双方都在循环论证。如果@Niedar 有补充过程请回复，另外问一下非标准分析的基础资料，可英文。
要我再拿出“逻辑严谨”的证明？三楼四楼原贴都是证明。你自己“承认极限语言”，然后三楼不承认确界原理，四楼不承认正实数能取对数，我能说的是，你不承认这些性质又找不出矛盾点，那不承认也不影响严谨性。
四楼：
“0.9999...的特性根本就不符合实数定义”，然而你从头到尾就没定义过0.999...，也没明确说明0.999...的特性哪里不符合实数定义。
如果你说的意思是你不指出哪条公理错误，但是这些公理构不成无穷，那就来到下面“构成无穷”部分。
你没说清楚什么叫“构成无穷”，于是我逐一拿出。
①无穷集合存在，整数集存在。
无穷公理：存在归纳集。
自然数集是所有归纳集的交集。整数集是所有自然数和自然数负元的集合。
②进位制无穷位小数存在。
考虑q进制数，q为大于1的整数。看图。

此方法确保了小数记号的唯一性。同时，不会出现从某一位开始全为(q-1)，即(q-1)循环的情况，因为会导出类似四楼证明的矛盾。
数x等于前n项和的极限，因此可补充定义(q-1)循环也为极限，实际上等于进一位后的数。
不承认补充定义没关系，0.333...仍然存在而且等于1/3哦。
③1-0.999...取对数
若x为正数则lg x存在。lg x是实数不是无穷。在我眼里lg(1-0.999...)无意义因为括号里是0，但我在四楼是假设0.999...<1，然后对正数取对数，得到的结果是一个实数。
最后重复，不承认性质又找不出矛盾，数学大厦不会因此轰然倒塌。

号被白毒屏蔽了一段时间，估计是你一直发ZW，白毒以为我和你在讨论这玩意。
我在此说明，以前相关的发言我不会删，以后发言出现会删，但不是因为“数学观点”而删除。

另起一楼。
无穷存不存在？
不存在被称为“无穷”的实数，但存在无穷集合。
实数可用集合定义，且若如此定义，那实数是“可用于数学研究的集合”。
没有什么定理说过“实数的性质一定还是实数”，也没有定理说过“对正整数成立的性质对无穷仍然成立”，这都是你为了“推翻实数大厦”自己想象出来的。
有限小数的小数点后位数是正整数，不代表无限小数的小数点后位数还是正整数。无限小数的小数点后的各位与由0到9之间的整数组成的序列一一对应。
如果你拿0.9<1，0.99<1，0.999<1……推出你的结论，那我来个炸裂的问题：
0.9是有限小数，0.99是有限小数，0.999是有限小数……
0.999...是有限小数吗？
公理方面，“规定狮子是植物为公理”，这规定自洽吗？这规定被普遍认可吗？实数公理系统不允许存在无穷大无穷小，照样能不矛盾，能研究数学，能定义极限，能定义无限小数。
实数合不合理不取决于你满不满意，你不满意想把无穷塞进去，新创个数系，请。

我前面已经提到了不要提到那个词，已删。你的发言除了那个词完全没违规，可重新发。
按照我的理解有限位成立指大于某个数后不成立。
但是陈述“0.999...9（n个9）是有限小数”就是对任意正整数n成立，“0.999...9（n个9）<1”也是对任意正整数n成立，区别在哪？在你说的“无穷趋势”？张口一个“无穷趋势”然后得到结论，难道它的意思是你认为正确就正确，你认为错误就错误？
集合两倍关系哪里炸了？无穷集合比大小用的是能不能一一对应，不是“我比你多于是炸了！！！”集合论已经发展上百年了，那些随便就能想到的“漏洞”早被补上了哟。
再次，按照我的理解，你问的成立的依据是有理数和小数的关系？我重复多少遍了看7楼的图，用实数和有限小数的关系定义无限小数，无限小数是标注实数大小的记号，且可证明其前n项的极限是对应的实数。
拿1/3举例，对任意正整数n，0.333...33<1/3<0.333...33+0.000...01，按照定义1/3的记号为0.333...。
算不出等于？你定义都没定义出来怎么算等于？用你的方法定义？虽然我不知道你用的什么“严谨的方法”，但我知道你定义的肯定不是实数。
你还知道论证是逻辑严谨的推论啊？我就想知道“无穷的特性就可以直接推论出的结论”这句话是整整一个人公认的公理是吧？需要成立依据吗？选择公理都能被质疑能不能当公理，你这句话还是放旁边吧。
实数理论中无穷，极限等的内容本身就需要依赖有限数来定义，从空集到自然数，整数，有理数，实数，然后用ε-N，ε-δ语言定义序列和函数的极限，实数不存在无穷大无穷小，但是存在函数极限为无穷，你硬要往里塞无穷然后拿无穷举反例说明实数不合理，我只能说毫无卵用。

随便一本高数书上都有“对任意正数成立，趋于无穷时不一定成立”，你硬要把“对任意正数成立则趋于无穷时成立”“无穷趋势是自古以来就有的无穷概念”默认正确？自创真理？那我也能造真理了，我张口就是一句无穷趋势是自古以来就没有的无穷概念捏
拿n≤m，n＞m描述，这不就是极限定义雏形？
0.999...9（n个9）是有限小数，存在n>m时不成立吗？0.999...9（n个9）<0.999...（无限小数），存在n>m时不成立吗？
所以0.999...是有限小数，0.999...<0.999...？
无穷集合个数构成关系这句话本身就没意义，个数是非负整数，无穷集合元素哪来个数？{1,2,3,4...}{2,4,6,8,...}里面1对应2，2对应4，3对应6，4对应8，两个集合等势，完全用不到个数。
无穷小数我说了多少遍了，看图，是已知实数，然后把它不停地乘以基数，通过不等关系确定出后面的每一个数字
0≤1/3<1，0.3≤1/3<0.3+0.1，0.33≤1/3<0.33+0.01，0.333≤1/3<0.333+0.001，……
所以(0, ., 3, 3, 3, 3...)是1/3的记号，也可以记为0.333...，这是通过计算不等关系把1/3记为0.333...，不是证明1/3=0.333....。定义了极限以后，证明出1/3即0.333...等于0.3+0.03+0.003...的极限，于是将0.333...与0.3+0.03+0.003...视为同一东西。
计算不能终结都能拿来当理由了？计算不能终结那得到的就是有限的结果，也就是对任意正整数n，有限小数0.333...3（n个3）和1/3不相等，想推到无限？又回到“对任意正数成立则趋于无穷时成立”了？
公理拿不出无穷结构？
存在无穷集，定义实数，定义无穷小数，我全说过了，到底哪里拿不出？
别用无穷的任何特性？“实数的性质一定还是实数”“对正数成立的性质对无穷仍然成立”这两句话用实数理论证不出来哦。

反例我举了多少次了，楼上就有
0.999...9（n个9）是有限小数，则0.999...是有限小数
0.999...9（n个9）<0.999...，则0.999...<0.999...
再来一个：1是整数，2是整数，3是整数……则无穷大是整数
都是“对正整数成立推到对无穷成立”，怎么到你这里就区别对待了？
第二次数学危机怎么解决的？规定个“有限成立则无穷成立”就解决了？数学家用严格的ε-N，ε-δ语言描述极限才填补了漏洞，那种不严格的提到无穷的句子，自古以来？自古以来就不严格是吧？
你还是没说清我哪个地方没定义“无穷结构”，所以我还是自己理解。
如果“无穷结构”指定义实数和小数
实数不存在无穷，但实数可定义为集合，集合可以是无穷集。
有理数以1/3为例，所有p/q=1/3，也就是3p=q的整数组(p,q)组成集合。
也就是1/3→{(0,0), (1, 3), (-1, -3), (2, 6), (-2, -6), (3, 9), (-3, -9), ...}
0.333...对应(0, 小数点, 3, 3, 3, ...)
(1/3)*(10^n)，n从0开始，个位数为0, 3, 3, 3, ...，对应成功。
附：多元组(a1, a2, a3, ...)也是集合，定义如下
(a,b)={{a}, {a, b}}
(a, a1, a2, a3, ...)={{a}, {a, (a1, a2, a3, ...)}}
至于0.3+0.03+0.003+...，实数里就是用极限定义的数值，而且这么定义并没有矛盾。用“有限成立则无穷成立”或者往里面塞无穷导矛盾没意义，实数里没有这些东西。你不承认这个是极限，那说明你用的不是实数，我一直说你自己建个数系说这里面0.999...不等于1我没任何意见，但是实数里0.999...就等于1。
计算不终结余1，说明1=3*0.333...33（小数点后n个3）+0.000...01（小数点后n-1个1）对任意正整数n成立，我偷换什么了？有信息损失吗？拿这个证明二者不相等不还是用着“有限成立则无穷成立”？先把0.999...是有限小数解释一下？

怎么推论出来？你前面原话就是“第一，某个规律对任意正数成立则无穷也成立，你认为不对，找出反例？？”我举的就是反例，我就想知道我这反例究竟对哪个正数不成立？对无穷大不成立是吧？
0.9<1，0.99<1，0.999<1，……
得到0.999...<1
0.9<0.999...，0.99<0.999...，0.999<0.999...，……
得到0.999...<0.999...
二者区别在哪？
如果前者推导成立，前者是任意正整数所以成立，后者是任意《有限》正整数所以不成立，“包不包括任意有限大”取决于你的意志？
如果前者推导不成立，你的真正过程是因为[(0.9<1，0.99<1，0.999<1，……)且(0.999...<1)]所以0.999...<1？搁这搁这呢？
实数体系中没有无穷。极限用在的地方是数列和函数，无穷小无穷大的计算利用函数完成。硬要无穷小比较大小？
来个式子(-0.1)^n，数列列出来-0.1, 0.01, -0.001, 0.0001,...
它最后大于还是小于0？

你让我举反例，然后说我反例错误，“用错误前提推出错误结论说明前提错误”为目的举反例，这反例不本来就是错误的？
你觉得0.9<0.999...，0.99<0.999...，0.999<0.999...，……得到0.999...<0.999...错误
那被你奉为真理的0.9<1，0.99<1，0.999<1，……得到0.999...<1怎么说？
什么时候获取无限小数的唯一途径只有分数除法了？除个圆周率来给我看看？有理数为循环小数（包括0循环）的证明，又不是证明任意两个整数相除会和所有循环小数一一对应。
七楼图片的定义保证了只要不出现某一位开始有(q-1)循环，则记号α_{p}α_{p-1}α_{p-2}...和实数一一对应。
定义了极限后有其前n位组成的数列极限等于实数，然后再补充定义0.999...为数列0.9, 0.99, 0.999, ...的极限。
实际上0.999...完全可以排除在实数之外，很多数学教材为了实数记号唯一性也直接规定有两种表示方法的有限小数（包括整数）统一表示为有限小数，也有规定统一记为退一位后面接(q-1)循环的。
0.999...本身就是补充定义，要不要都行，但这改变不了其他的循环小数记号，比如1/3的记号为0.333...。
必须能够判定是实数的性质，实数公理规定了全序关系。无穷小不是实数不能全序比较大小，问题是你前面原话就是”极限语言不能解决无穷小是否大于0的问题“，我举个反例说明无穷小不能全序比大小你说我反例错误，但这个反例本来就是错的。
我说的实数体系是指没有一个实数被称为无穷大/小。按照你说的实数体系，实数没有无穷但集合可以无穷，集合论可以看作实数体系的基础，我举过例子了0.333...对应(0, ., 3, 3, 3, …)，1/3对应{(0,0), (1, 3), (-1, -3), (2, 6), (-2, -6), (3, 9), (-3, -9), ...}，(1/3)^(10^n)的个位为0, 3, 3, 3, …（n为非负整数）于是两个集合一一对应，我到底什么结构没拿出来？
你硬要说实数位数有无穷矛盾了，那我取个集合{0}，集合元素个数为1但是集合元素没有1，所以这个集合自相矛盾了？

“直接认循环小数为有理数则和p/q矛盾”，定义循环小数为数列极限值（实数），其值算出来等于两个整数之商，你要是不承认极限，那就换确界方法。
为了方便，考虑形如0.a1a2a3…an…的小数，
数列In: 0.a1, 0.a1a2, 0.a1a2a3, … , 0.a1a2a3…an, …
数列Sn: 0.a1+0.1, 0.a1a2+0.01, 0.a1a2a3+0.001, … , 0.a1a2a3…an+10^(-n), …
In单调不减且有上界1，Sn单调不增且有下界0（这里的上下界全是通过有限小数比大小得到的）。
用实数公理可得出sup(In)=inf(Sn)，将其值记为0.a1a2a3…an…的值。
实数里是能这么干的，你要是觉得不能这么干，那只能说明你创造的数系里不能这么干。
我前面已经提到过了无穷集合没有“个数”，个数是两倍推不到无穷。无穷集合比大小，能不能双射（一一对应）可以当成一个方法，这问题十九世纪末二十世纪初就被讨论烂了，当时康托尔证明整数和有理数能双射但不能和实数双射被骂到进医院，后面这理论不还是被数学界接受了。我只能说你不接受很正常，那个时代的数学家一开始也不接受。
证明是同一个0.3循环，还是对应，两个0.333…，每个小数点后的3都和正整数一一对应。0.3≠0.33, 0.33≠0.3333, 0.333≠0.333333, …推不出最后不相等，至少实数里推不出。
又是举反例被说反例错误，实数没有无穷大所以实数矛盾不一样？实数被定义为集合，集合中存在无穷集，没无穷概念你用无穷导矛盾梦里来的？
拿0.9…不是正数反驳是我从来没想到的，sup(In)≥inf(In)=0.9>0，没什么能说的。