第一节：微分中值定理
①费马定理：设函数f(x)在某点x的邻域内有定义，且在该点处可导，如果该邻域内的任何一点都≥点x或者≤点x，那么函数在这个x处的导数为零。
我们通常把导数等于0的点称作这个函数的驻点或稳定点、临界点。
②罗尔定理：如果函数f(x)满足，在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，在区间端点处点函数值相等，即f(a)＝f(b)，那么在开区间a,b内至少有一点使得该点的导数为0。
罗尔定理的条件之一是f(a)＝f(b)，这一条件使得罗尔定理的应用受限，那么如果把这一条件去掉的话，便得到了微分学中著名的拉格朗日中值定理。
③拉格朗日中值定理：函数f(x)满足闭区间a,b上连续，开区间a,b内可导，那么在开区间a,b内必存在一点c，使得f(b)-f(a)＝f'(c)*(b-a)，该公式又记为拉格朗日中值公式。
该定理的几何意义为，如果连续曲线的弧AB上除端点外有处处有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一个点C，使得曲线在C处的切线平行于弦AB。
由此可知，罗尔定理是拉格朗日中值定理中的特殊形式。
已知拉格朗日中值公式中，设X为区间内一点，设X+ΔX为区间内另一点，那么公式可以改写为f(x+Δx)-f(x)＝f'(x+θΔx)*Δx (0<θ<1)，如果把f(x)记作y的话，那么又可以写成Δy＝f'(x+θΔx)*Δx (0<θ<1)。
根据前面所学，只有当Δx→0时，才能看成Δy≈dy＝f'(x)*Δx，而这里却在自变量取有限增量Δx时就能准确表达出Δy，且Δx不一定很小。因此，拉格朗日中值定理又被称作有限增量定理，而公式Δy＝f'(x+θΔx)*Δx (0<θ<1)称为有限增量公式。
拉格朗日中值定理在微分学中至关重要，有时也被称作微分中值定理
如果函数在区间上连续可导且导数恒为0，那么该函数为区间上的一个常数。
④柯西中值定理：如果f(x)与g(x)满足，在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，对于任意一该区间内的点，g'(x)≠0，那么在该区间内至少有一点c，满足[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]＝f'(c)/g'(c)。

第二节：洛必达法则
当x→a或者x→∞时，两个函数f(x)与g(x)都趋近于0或者趋于无穷时，那么极限lim f(x)/g(x)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限叫作未定式。简记为0/0或∞/∞。
洛必达法则：(1)当x趋近于某个值或者趋近于无穷时，对应的两个函数f(x)与g(x)都同时趋于零或者趋于∞，(2)在某个点的去心邻域内，两个函数的导数都存在且g'(x)≠0，(3)且limf'(x)/g'(x)存在或为无穷大，那么x→a(x→∞)时，limf(x)/g(x)＝limf'(x)/g'(x)。
如果二者的导数仍满足未定式型，那么可继续用洛必达法则。
一定要注意，一旦对应的结果不是未定式，则不能应用洛必达法则，洛必达法则做题很容易，但是条件一定要保证满足，否则会导致错误结果。
洛必达法则虽好，但不要盲目洛下去，要严抓每一分。

第三节：泰勒公式
已知|x|很小时，式子可以用等价无穷小来代替，以大大简化运算过程，但是这样做必然会引起误差，那么为了减小误差，提高精确度，我们可以用更高次的多项式来逼近函数，从而引出本节内容，见图所示。
泰勒中值定理1中的f(x)与多项式Pn(x)的差只有一个比(x-x₀)ⁿ高阶的无穷小，因而很大程度上减小了误差。
我们把多项式(1)称为函数f(x)在x₀处或者按(x-x₀)的幂展开的n次泰勒多项式，把公式(2)称为函数f(x)在x₀处或者按(x-x₀)的幂展开的n次泰勒公式，而Rn(x)的表达式(3)称为佩亚诺余项。
已知泰勒中值定理1无法具体估算出误差的大小，从而引出泰勒中值定理2来解决这一问题。见图所示。
泰勒中值定理2中的公式称为函数f(x)在x₀处或者按(x-x₀)的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，而Rn(x)的表达式称为拉格朗日余项。
泰勒中值定理1中，如果x₀＝0，那么我们可以推出带有佩亚诺余项的麦克劳林公式，如图。
泰勒中值定理2中，如果x₀＝0，那么我们可以推出带有拉格朗日余项的麦克劳林公式，如图。
要知道，泰勒公式极其重要，希望各位可以结合教材将其充分理解，不要因为困难便放弃理解或学习。加油。

第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性
①设函数在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，(1)如果在(a,b)内f'(x)≥0且等号仅在有限个点处成立，那么函数在该区间上单调递增，(2)如果在(a,b)内f'(x)≤0，且等号仅在有限个点处成立，那么函数在该区间上单调递减。
这个判定法中的闭区间换成其他各种区间结论依然成立。
平时做题时，如果有一个在定义区间内连续的函数，除去导数不存在的点后，导数存在且在区间内有有限个驻点，那么我们可以用这些驻点与导数不存在的点来划分定义区间，就能使函数在每个区间部分上都能单调。
②凹凸性：设函数f(x)在区间上连续，那么对于该区间上的任意两点a、b，恒有f((a+b)/2)＜[f(a)+f(b)]/2，那么称f(x)在该区间上的图形是向上凹的（或凹弧）。如果恒有f((a+b)/2)＞[f(a)+f(b)]/2，那么称f(x)在该区间上的图形是向下凸的（或凸弧）。
如果函数在区间内有二阶导数，那么也可以用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下：
③设f(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b)上有一阶和二阶导数，如果f''(x)＞0，为凹，f''(x)＜0，为凸。
如果曲线在经过某点时凹凸性改变了，那么我们把该点称为这曲线的拐点。判定拐点步骤如下：
(1)求f''(x)
(2)令f''(x)＝0，解出实根，并求出在区间上f''(x)不存在的点
(3)对于(2)中的每个实根与二阶导数不存在的点，检查f''(x)在该点左右邻近的符号，两侧符号相反时，此点为拐点，相同则不是。

第五节：函数的极值与最值
设函数f(x)在一点c的某邻域内有定义，如果对于该领域内的任一x，f(x)都大于f(c)或者小于f(c)，则称f(c)为该函数的一个极小值或极大值。
注意区分极值与最值，极值的概念是局部性的，而最值的概念是整体性的。
已知如果函数有极值，那么在极值点处的切线一定是水平的，但是如果曲线上某点处有条水平切线，它也未必是极值，最多只能说明此处的导数是0而已。
①（必要条件）设函数f(x)在某点处可导，且能在此点处取得极值，那么这点的导数一定为0。意思是：可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来却未必成立。且导数不存在的点也可能是极值点，例如|x|在x＝0处不可导，但可以在该点取得极小值。
②（第一充分条件）函数在一点处连续，且在该点的某去心邻域内可导时，若在该点的左半部分导数＞0，右半部分导数＜0，则可以在该点处取得最大值；反之则取最小值。如果左右两侧符号不变，则在该点处没有极值。
则对于定理②，一般解题步骤为，求出导数f'(x)，求出f(x)的全部驻点与不可导点，考察f'(x)的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点，如果是，判断是极大值点还是极小值点，最后求出各极值点对应的函数值。
③（第二充分条件）函数在某一点处有二阶导数，且一阶导数为0，二阶导数不为0，则该点的二阶导数＜0时，函数取得极大值，反之取得极小值。
下面说明求最值的方法，已知连续函数在一闭区间上一定有最值，则：
(1)求出函数在开区间上的驻点与不可导点，如果没驻点就自动取消求驻点的步骤
(2)计算函数在驻点与不可导点处的函数值，以及该区间端点处的函数值
(3)比较判断，最大的就是最大值，最小的就是最小值

第六节：函数图形的描绘
在了解并掌握函数拐点与极值点以及对应区间内函数的单调性的知识后，我们便可以把一个函数的图形画的相对准确。
虽然现在计算机技术不断发展 借助于计算机与数学软件，已经可以很方便的画出各种图形，但是机器作图会有误差，那么如何掌握图形中的关键点选择作图范围，从而进行人工干预，就需要我们有运用微分学绘图的基本知识。
根据导数描绘函数图形的一般步骤如下：
(1)根据函数定义域确定函数特性（奇偶性、周期性等），并求出一阶导数与二阶导数
(2)求出一阶导数与二阶导数在定义域内的全部零点，并求出函数的间断点和一阶导数与二阶导数不存在的点，用这些点把定义域割分成几个部分区间
(3)确定这些部分区间内一阶导数与二阶导数的符号，并由此确定函数图形的升降、凹凸和拐点
(4)确定函数的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势
(5)算出一阶导数与二阶导数的零点以及不存在的点所对应点函数值，定出图形上的相应的点。为了把图形描绘得更准确，有时还需要补充一些点。
(6)结合以上步骤，联结点画出函数图形

第七节：曲率
为了解曲率，先介绍弧微分的概念。
我们在曲线上选取一固定点作为度量弧长的基点，并规定依照x增大的方向为正向，对于曲线上任意一点，可以与基点构成弧s，我们把s的绝对值规定为弧的长度。那么弧微分公式为ds＝√(1+y'²) dx
我们在曲线上选择一点为基点M，过这一点做该曲线的切线，切线与x轴相交构成的角称为倾角，记作α，再找另一点J，J点所在的曲线的倾角为α+Δα，那么我们把弧MJ的长度记为|Δs|，把MJ之间切线转过的角度记为|α|，我们用比值|s|/|α|记作弧MJ的平均曲率，用来表示弧MJ的弯曲程度，记作K（此处应为K平均，即符号为K上有道横的那个符号）。
我们知道，对直线来说，切线与其本身重合，当直线上的点动时，切线的倾角不会变化，所以直线不弯曲。
对圆来说，圆上各点处的曲率都等于其半径的倒数，意味着圆的弯曲程度到处都一样，且半径越小曲率越大。
曲率的计算公式，见图。
在曲线上取一点M，设曲线在该点处的曲率为K，在M点处的法线上，凹侧内取一点D，使得两点之间距离MD为K的倒数，记作ρ，以D点为圆心，ρ为半径作圆，这个圆叫作曲线在M点处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫作曲率中心，半径记作曲率半径。
ρ＝1/K，即曲线上一点处的曲率半径等于该点处的曲率的倒数。
当点沿着曲线C移动时，其对应的曲率中心D的轨迹曲线G记作曲线C的渐屈线，而曲线C记作曲线G的渐伸线。渐屈线方程如图。