首先，学到这里的话建议把前面所学的重新看一遍，记一记公式，不定积分这章会用到很多例如倍角公式、半角公式、双曲函数等等，临时推导很花费时间，建议各位自己记忆一下

第一节：不定积分的概念与性质
我们说一个函数F(x)拥有导数f(x)，那么对于导数f(x)而言，这个函数F(x)就被称为f(x)的原函数。
原函数存在条件：连续函数一定有原函数。
在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在I上的不定积分，记作∫f(x)dx。
∫称作积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称作积分变量。
函数的原函数的图形称为该函数的积分曲线。
设f(x)是f'(x)的原函数，那么可以记作∫f'(x)dx＝f(x)+C或∫df(x)＝f(x)+C
根据定义总结出基本积分表见图所示。
注意，有时被积函数实际上是幂函数，但是用分式或者根式表示，遇此情况，可以先把它化为幂函数xᵃ的形式，然后用幂函数的积分公式来做。
不定积分的性质：
①∫[f(x)+g(x)]dx＝∫f(x)dx+∫g(x)dx
②∫kf(x)dx＝k*∫f(x)dx

第二节：换元积分法
首先提醒各位一下，本节内容，也就是换元积分法，是用复合函数的微分法反推出来的，所以如果微分学不好，接触本节内容会很困难，对自己的微分水平没有把握的话，建议先回第二章复习一遍。
已知基本积分表与积分的性质所能计算的不定积分是有限的，尤其是对于复合函数而言，因此这里引出了解决复合函数的两个换元法，如下：
①第一类换元法：设f(u)有原函数，u＝k(x)可导，那么∫f[k(x)]k'(x)dx＝[∫f(u)du]ᵤ₌ₖ₍ₓ₎
在对变量代换熟练以后，可以不用写出中间变量u，一般对于复合函数中含有三角函数的偶数次方，可以考虑使用倍角公式或者半角公式来应对。注意第一类换元法看着简单，用起来未必容易，建议大家多做题来加深理解。
②第二类换元法：我们知道第一类换元法是用u代替k(x)，而第二类换元法则是用k(t)代替x，如下∫f(x)dx＝∫f[k(t)]k'(t)dt，最后结果记得一定要把t＝k⁻¹(x)换回去。
常用的第二类换元一般是利用三角函数公式sin²t+cos²t＝1，sec²t-1＝tan²t，此外还可以看情况用双曲函数公式ch²t-sh²t＝1等，这就是为什么之前提到本章内容也别需要前面内容的知识做基础，希望各位在学数学的路上尽量避免忽视掉每一处小细节，才能让各位在考试甚至生活中应对问题游刃有余。

第三节：分部积分法
利用微分公式或者求导法则可以得到换元积分法，那么现在我们可以利用两个函数乘积的求导法则推出另一个求积分的基本方法，也就是分部积分法。
分部积分公式：∫udv＝uv-∫vdu
虽然分部积分法也是很重要的一个公式，但总会出现用了分部积分法还不如原式容易推出结果的情况，那么恰当地选取u和dv就显得相当重要了，一般要考虑以下两点：
①v要容易求得②∫vdu要比∫udv更容易积出。
一般而言，若被积函数是幂函数或对数函数，反三角函数，三角函数，指数函数等，就可以考虑用分部积分法

写到这里，顺便提醒一下大家，方法虽多，解决问题时不一定固定用哪个方法，虽然说以找出最合适的方法为目标，但我认为最合适指的并不是对于这道题而言，而是对于解题的你们而言，希望各位都能在解题过程中找出最有效且最适合自己的方法。

第四节：有理函数的积分
两个多项式的商P(x)/Q(x)称为有理积分，又称有理分式，我们总假定这两个多项式之间没有公因式，当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式的次数时，我们称这个有理函数为真分式，否则为假分式。
一个真分式可以拆成几个分式之和，如P(x)/Q(x)＝P1(x)/Q1(x)+P2(x)/Q2(x)，我们将这一步称为：真分式化为部分分式之和。
本节内容文字无法概述，建议各位自行查阅同济教材高等数学第四章第四节。这里不作深入探讨。