第一节：定积分的概念与性质
首先我们在坐标轴上作一条曲线，在曲线上取左右两个点a,b当端点，由两个端点作x轴上的垂线，有两条垂线与x轴和曲线所构成曲边梯形，当我求曲边梯形的面积时，我们可以选择把区间[a,b]分成很多小区间，然后用每个小区间中任意一点在曲线上的函数值f(x)作高，求出这个小区间与高构成的矩形的面积，我们把所有小区间的面积加起来，约等于曲边梯形的面积，当划分的小区间的数量越多，结果就越精确，这一过程就可被称为求定积分。
下面给出定积分的准确定义：设函数在[a,b]上有界，在其中插入若干个分点，把区间分成n份，每个区间的长度为Δx，在每个区间内任取一点k，求出f(k)，那么f(k)*Δx就是这个小区间的面积，设每个小区间的和为S，当Δx趋近于0时，S总存在，且与区间a，b的分发和k的取法无关，那么我们称S的极限为f(x)在[a,b]上的定积分（简称积分），记作∫ᵇₐf(x)dx。注意定积分简称为积分，而不定积分不是。a叫作积分下限，b叫作积分上限，[a,b]为积分区间，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式。
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，那么就说f(x)在[a,b]上可积。
下面给出两个可积的充分条件：如果f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在该区间上可积；如果f(x)在该区间上有界，且只有有限个间断点，那么f(x)在该区间上可积。
定积分的性质，如图所示，因为公式有些难打，就直接找了百度百科的性质，与同济数学无偏差。

第二节：微积分基本公式
①如果函数f(x)在[a,b]上连续，那么积分上限的函数在[a,b]上可导，并且它的导数k'(x)＝d(∫ˣₐf(t)dt)/dx＝f(x)，(a≤x≤b)，这个定理表明连续函数f(x)取变上限x的定积分后求导，结果还原为f(x)本身，我们可以知道k(x)是连续函数f(x)的一个原函数。
②如果函数在[a,b]上连续 那么函数k(x)＝∫ˣₐf(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
③微积分基本定理：如果函数F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数，那么∫ᵇₐf(x)dx＝F(b)-F(a)，此公式为牛顿-莱布尼兹公式，也叫微积分基本公式。这里注意，F(x)必须是f(x)在区间[a,b]上的原函数，函数在不同的区间原函数可能不同。

第三节：定积分的换元法与分部积分法
①假设f(x)在[a,b]上连续，函数x＝k(t)满足以下条件，k(a)＝A，k(b)＝B，k(t)在[a,b]上具有连续导数，且其值域等于[A,B]，那么∫ᵇₐf(x)dx＝fᴮᴀf(k(t))*k'(t)dt，这个公式称为定积分的换元公式。本公司也可以反过来用，如设成t＝k(x)
②若f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数，那么∫ᵃ₋ₐf(x)dx＝2∫ᵃ₀f(x)dx；如果f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数，那么∫ᵃ₋ₐf(x)dx＝0
③定理3见图所示
④定理4如图
分部积分法：∫ᵇₐu(x)v'(x)dx＝[u(x)v(x)]ᵇₐ-∫ᵇₐv(x)u'(x)dx

第四节：反常积分
①无穷限的反常积分：设t＞a，且t→+∞，则公式∫ᵗₐf(x)dx称为其在无穷期间[a,+∞)上的反常函数，如果f(x)在[a,+∞)上连续，且极限∫ᵗₐf(x)dx存在，那么称这个反常积分收敛，且该极限称为这个反常积分的值；否则为发散。此定义对于(-∞,a]上也同理。如果函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，那么可以把反常积分拆成(-∞,0)，(0,+∞)两部分来判断，如果极限存在，那么收敛，否则发散。
②无界函数的反常积分：如果函数f(x)在a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点，也称无界间断点，无界函数的反常积分又称为瑕积分。设函数在(a,b]上连续，a为瑕点，如果极限存在，那么称这个反常积分收敛，并称极限为该反常积分的值；否则称此函数发散。如果区间为[a,b)，b为瑕点也是同理。如果函数在区间[a,c)与(c,b]上连续，点c为函数瑕点，如果函数在两个区间上均收敛，那么称反常积分在[a,b]上收敛，且反常积分的极限等于函数在两个区间上的和；否则称该反常积分发散。

第五节：反常积分的审敛法 Γ函数
无穷限反常积分的审敛法：
①设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，且f(x)≥0，如果∫ˣₐf(t)dt在[a,+∞)上有界，则它的反常积分收敛。
②比较审敛原理：设函数f(x)与g(x)都在[a,+∞)上连续，如果0≤f(x)≤g(x)，且g(x)的反常积分收敛，那么f(x)的反常积分也收敛；如果0≤g(x)≤f(x)，且g(x)的反常积分发散，那么f(x)的反常积分也发散。
③比较审敛法1：设函数f(x)在[a,+∞)上连续，a＞0，且f(x)≥0，如果存在常数M，使f(x)≤M/xᵖ，那么f(x)的反常积分收敛；如果N＞0，使得f(x)≥N/x，那么f(x)的反常积分发散。
④极限审敛法1：设函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)≥0，如果存在常数p＞1，使x→+∞时xᵖ*f(x)＝c＜+∞，那么该函数的反常积分收敛：如果x→+∞时x*f(x)＝d＞0，那么反常积分发散。
⑤设函数f(x)在[a,+∞)上连续，如果|f(x)|的反常积分收敛，那么f(x)的反常积分也收敛。也可简单地记为绝对收敛的反常积分必定收敛。
无界函数的反常积分的审敛法：
①比较审敛法2：设函数f(x)在(a,b]上连续，f(x)≥0，x＝a为f(x)的瑕点，如果存在常数M＞0及p＜1，使得f(x)≤M/(x-a)ᵖ，那么f(x)的反常积分收敛；如果存在常数N＞0，使得f(x)≥N/(x-a)，那么反常积分发散。
②极限审敛法2：设函数f(x)在(a,b]上连续，f(x)≥0，x＝a为f(x)的瑕点，如果存在常数0＜p＜1，使得x→a⁺时，(x-a)ᵖ*f(x)存在，那么f(x)的反常积分收敛，如果x→a⁺时，(x-a)*f(x)＝d＞0，那么f(x)的反常积分发散。
Γ函数：
性质如图所示。