第一节：定积分的元素法
已知定积分对于求取求曲边梯形的面积具有很大的作用，我们会把定义域区间分成N个窄区域，用这N个区域与f(x)的乘积之和能求出曲边梯形的近似值，且N越大，即把区间分的越细，得出的结果越接近曲边梯形的面积。我们把f(x)dx称为面积元素，而把区间分成N个部分并能相加的性质称为函数在该区间上具有可加性。
在解决实际问题中，如果所求量U满足以下条件，就可用定积分来表示U。(1)U是与x的变化区间[a,b]有关的量，(2)U对于区间[a,b]具有可加性，(3)部分量ΔU的近似值可以表达为f(xi)dx。
用定积分表示U的步骤为：(1)根据情况，选取一个变量作为积分变量，并确定好变化区间[a,b]，这里注意积分变量可以是x,y,t等等，并不只限于x，(2)把[a,b]分成n个区间，取其中一个区间[x,x+dx]，求出关于这个小区间的部分量ΔU的近似值，例如dU＝f(x)dx，这里也要注意，ΔU和dU之间存在一个比dx高阶的无穷小，(3)将f(x)dx作被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，求U＝∫ᵇₐf(x)dx。
以上解题方法，就被称为定积分的元素法。

第二节：定积分在几何学上的应用
①平面图形的面积
(1)直角坐标情形
不管是普通方程还是参数方程，我们都可以用f(x)dx或f(y)dy等代替所求量U(注意
这里的x,y是积分变量，实际上t,n等等也可以作积分变量，视题目而定），最后求出面积。当出现两种函数图像相交形成的面积时，可以用[f(x)-g(x)]dx来求得，以此类推。
(2)极坐标情形
当出现曲线ρ＝ρ(θ)时，我们可以考虑用小扇形的面积之和来求取总面积，扇形面积公式如下：A＝1/2*R²*θ，各位应该也知道，这里的R指的就是ρ(θ)，即可以用1/2*[ρ(θ)]²dθ来表示所求量U
②体积
(1)旋转体的体积
旋转体是一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而来的立体，这条直线叫作旋转轴。
已知求面积是把图形看作是很多块矩形面积的和，那么求体积也可以看作是很多柱体体积的和，柱体的体积为πR²*h，如果旋转体是以x轴为旋转轴，那么可以把x的区间[a,b]分成n个部分，每一部分为dx，而求底面积则为π*f(x)²，因此体积元素dV＝π[f(x)]²*dx，设dV为被积表达式，即可求出旋转体体积为V＝∫ᵇₐπ[f(x)]²*dx
(2)平行截面面积为已知的立体的体积
如果题目中直接给出底面积A的函数A(x)，那么我们可以直接得出体积V＝∫ᵇₐA(x)dx（要注意无论柱体是圆柱还是扁柱，体积都是A*h
③平面曲线的弧长
光滑曲线弧是可求长的。
设曲线弧由参数方程给出，即x＝Φ(t)，y＝Ψ(t)，那么所求弧长为s＝∫ᵇₐ√[Φ'²(t)+Ψ'²(t)]dt
设曲线弧由直角坐标方程给出，则s＝∫ᵇₐ√(1+y'²)dx
设曲线弧由极坐标方程给出，即ρ＝ρ(θ)，则s＝∫ᵇₐ√[ρ²(θ)+ρ'²(θ)]dθ

注意，本章内容要建立在做题的基础上，以上理论能够帮助你更好地理解题目，切不可只记理论却不做题，无法在实践中培养数学思维，记再多理论也是徒劳的。

第三节：定积分在物理学上的应用
①变力沿直线所作的功
这里记一下公式，物体在做直线运动时，有一个不变的力F作用在该物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么物体移动了距离s时，力F对物体所做的功为W＝F*s
②水压力
在水深为h处的压强为p＝ρgh，如果有一面积为A的平板水平地放置在h处，那么平板一侧受到的水压力为P＝pA
③引力
质量分别为m1，m2，相距为r的两质点间的引力大小为F＝G(m1*m2)/r²，其中G为引力系数，引力方向沿着两质点的方向