第一节：向量及其线性运算
（1）向量的概念
正如平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间解析几何的知识对学习多元函数微积分也是必要的。
客观世界里的既有大小，又有方向的一类量叫做向量或矢量。有的向量与起点无关，我们把与起点无关的向量称作自由向量。在今后的学习中，我们把自由向量简称为向量。即只考虑向量的大小和方向而不考虑起点。
由于我们只讨论自由向量，所以如果两个向量的大小和方向都相等，那么我们就说这两个向量是相等的。也就是说，经过平移后能完全重合的向量是相等的。
向量的大小叫做向量的模，我们用黑体字母来表示向量，也可以用字母上方加一个→来表示向量。因为贴吧不支持黑体字，这里只能用_a来表示向量a，但请大家注意，一定要知道向量在书面上如何表示。向量的模记作|_a|。
模等于0的向量叫做零向量，零向量的起点与终点重合，方向可以看作是任意的。模等于1的向量叫做单位向量。
向量_OA与向量_OB之间的夹角∠AOB是两向量之间的夹角。如果两个向量之间有一个是零向量，那么规定它们的夹角可以在0-π之间任意取值。
夹角＝0或π，则称两向量平行，等于π/2，则称两向量垂直。零向量可以认定为与任何向量都平行或者与任何向量都垂直。其中，两向量平行又称两向量共线。
设有k个向量（k≥3），当它们的起点放在同一点时，如果其终点和公公起点都在一个平面上，那么称这k个向量共面。
与一个向量模相同但方向相反的向量称作该向量的负向量。
（2）向量的线性运算
①向量的加减法：
_c＝_a+_b；_a+_b＝_b+_a；(_a+_b)+c＝a+(_b+_c)。
如果n个向量想加，则这n个向量的和为，以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点。记作s＝a1+a2+a3+......+an。
|_a+_b|≤|_a|+|_b|及|_a-_b|≤|_a|+|_b|，其中等号在_a与_b同向或反向时成立。
②向量与数的乘法：
|k*_a|＝|k|*|_a|，k为实数。当k＞0时与_a方向相同，k＜0时与_a方向相反。k＝0时，为0向量，这时它的方向可以是任意的。
k*(u*_a)＝u*(k*_a)＝(k*u)*_a；(k+u)*_a＝k*_a+u*_a。
向量相加与数乘向量统称为向量的线性运算。
一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量。
定理①：若_a≠0，则向量_b平行于_a的充要条件是存在唯一的实数k，使得_b＝k*_a。
该定理是建立数轴的理论依据，给定一个点和一个单位向量就确定了一条数轴。
设点O与单位向量i确定了数轴Ox，对于轴上任一点P，对应一个向量_OP。根据定理①，存在唯一的实数x，使_OP＝xi，从而知轴上点P的坐标为x的充要条件是_OP＝xi。
（3）空间直角坐标系
x,y,z轴的正方向通常符合右手规则，即用右手握住z轴，当四个手指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。有xOy，yOz，zOx面，三个坐标面把空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限。我们把xOy面上，yOz面前，zOx面右的卦限叫做第一卦限，第二三四按逆时针方向确定，第五卦限在第一卦限下面，第六七八同样按逆时针方向确定。八个卦限分别用罗马字母I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII来表示。
任意向量_r可表示为_r＝i*_x+j*_y+k*_z。该公式称为向量_r的坐标分解式。其中x,y,z称为向量_r的坐标，记作(x,y,z)。设原点为O，有一点M，则向量_r＝_OM记作点M关于原点O的向径。
已知(x,y,z)即可以表示向量，又可以表示点，当(x,y,z)是表示向量时，可进行运算，表示点时，不可运算。运算法则见图。
向量模表达式为|_r|＝√(x²+y²+z²)。
（4）
方向角与投影见图。
（1）向量的概念
正如平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间解析几何的知识对学习多元函数微积分也是必要的。
客观世界里的既有大小，又有方向的一类量叫做向量或矢量。有的向量与起点无关，我们把与起点无关的向量称作自由向量。在今后的学习中，我们把自由向量简称为向量。即只考虑向量的大小和方向而不考虑起点。
由于我们只讨论自由向量，所以如果两个向量的大小和方向都相等，那么我们就说这两个向量是相等的。也就是说，经过平移后能完全重合的向量是相等的。
向量的大小叫做向量的模，我们用黑体字母来表示向量，也可以用字母上方加一个→来表示向量。因为贴吧不支持黑体字，这里只能用_a来表示向量a，但请大家注意，一定要知道向量在书面上如何表示。向量的模记作|_a|。
模等于0的向量叫做零向量，零向量的起点与终点重合，方向可以看作是任意的。模等于1的向量叫做单位向量。
向量_OA与向量_OB之间的夹角∠AOB是两向量之间的夹角。如果两个向量之间有一个是零向量，那么规定它们的夹角可以在0-π之间任意取值。
夹角＝0或π，则称两向量平行，等于π/2，则称两向量垂直。零向量可以认定为与任何向量都平行或者与任何向量都垂直。其中，两向量平行又称两向量共线。
设有k个向量（k≥3），当它们的起点放在同一点时，如果其终点和公公起点都在一个平面上，那么称这k个向量共面。
与一个向量模相同但方向相反的向量称作该向量的负向量。
（2）向量的线性运算
①向量的加减法：
_c＝_a+_b；_a+_b＝_b+_a；(_a+_b)+c＝a+(_b+_c)。
如果n个向量想加，则这n个向量的和为，以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点。记作s＝a1+a2+a3+......+an。
|_a+_b|≤|_a|+|_b|及|_a-_b|≤|_a|+|_b|，其中等号在_a与_b同向或反向时成立。
②向量与数的乘法：
|k*_a|＝|k|*|_a|，k为实数。当k＞0时与_a方向相同，k＜0时与_a方向相反。k＝0时，为0向量，这时它的方向可以是任意的。
k*(u*_a)＝u*(k*_a)＝(k*u)*_a；(k+u)*_a＝k*_a+u*_a。
向量相加与数乘向量统称为向量的线性运算。
一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量。
定理①：若_a≠0，则向量_b平行于_a的充要条件是存在唯一的实数k，使得_b＝k*_a。
该定理是建立数轴的理论依据，给定一个点和一个单位向量就确定了一条数轴。
设点O与单位向量i确定了数轴Ox，对于轴上任一点P，对应一个向量_OP。根据定理①，存在唯一的实数x，使_OP＝xi，从而知轴上点P的坐标为x的充要条件是_OP＝xi。
（3）空间直角坐标系
x,y,z轴的正方向通常符合右手规则，即用右手握住z轴，当四个手指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。有xOy，yOz，zOx面，三个坐标面把空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限。我们把xOy面上，yOz面前，zOx面右的卦限叫做第一卦限，第二三四按逆时针方向确定，第五卦限在第一卦限下面，第六七八同样按逆时针方向确定。八个卦限分别用罗马字母I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII来表示。
任意向量_r可表示为_r＝i*_x+j*_y+k*_z。该公式称为向量_r的坐标分解式。其中x,y,z称为向量_r的坐标，记作(x,y,z)。设原点为O，有一点M，则向量_r＝_OM记作点M关于原点O的向径。
已知(x,y,z)即可以表示向量，又可以表示点，当(x,y,z)是表示向量时，可进行运算，表示点时，不可运算。运算法则见图。
向量模表达式为|_r|＝√(x²+y²+z²)。
（4）
方向角与投影见图。
