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，Sc是过I的外接等轴双曲线与欧拉线除垂心外的第二交点
记号：一点X的等角共轭点为gX，等截共轭点为tX.
我们证明以下的推广：△ABC，一点P，P的外接等轴双曲线与欧拉线交于不同于垂心H的一点S，则P,S,gtP三点共线.
证明：设外心为O，取等角共轭，只要证明gP,gS,tP共外接圆锥曲线。
我们先证明：gS,tS,tH三点共线。考虑点S在OH上运动，则gS在Jerabek双曲线上运动，熟知tH在Jerabek上，故S→tHgS是射影对应，tS在OH的等截共轭像上运动，则S→tHtS是射影对应，对于三个特例，我们证明命题成立：
1. S = G(重心)，这时tS = G, gS = K(共轭重心)，熟知tH是K的反补点，成立；
2. S = X_{30}欧拉无穷远点，这时tS = X_{98}Steiner点，gS = X_{74}，三点共线，成立；
3. S = O，gS = O，因为O,ttH = H, tH共外接圆锥曲线Jerabek，所以tO,tH,H共线，成立；
由以上三个特例，得tHgS→tHtS是恒等的射影对应，所以gS,tS,tH三点共线。
因为P,H,S共外接圆锥曲线，所以tP,tH,tS共线，且gP,gH = O,gS共线，所以有：
gS[gP,tP;B,C] = gS[O,tH;B,C] = A[O,tH;B,C]
只要证明： A[O,tH;B,C] = A[gP,tP;B,C]
分别考虑关于AB,AC的等角线和等截线，有
A[O,gP;B,C] = A[H,P;C,B] = A[tH,tP;B,C]
所以A[O,tH;B,C] = A[gP,tP;B,C]，命题得证
我们证明以下的推广：△ABC，一点P，P的外接等轴双曲线与欧拉线交于不同于垂心H的一点S，则P,S,gtP三点共线.
证明：设外心为O，取等角共轭，只要证明gP,gS,tP共外接圆锥曲线。
我们先证明：gS,tS,tH三点共线。考虑点S在OH上运动，则gS在Jerabek双曲线上运动，熟知tH在Jerabek上，故S→tHgS是射影对应，tS在OH的等截共轭像上运动，则S→tHtS是射影对应，对于三个特例，我们证明命题成立：
1. S = G(重心)，这时tS = G, gS = K(共轭重心)，熟知tH是K的反补点，成立；
2. S = X_{30}欧拉无穷远点，这时tS = X_{98}Steiner点，gS = X_{74}，三点共线，成立；
3. S = O，gS = O，因为O,ttH = H, tH共外接圆锥曲线Jerabek，所以tO,tH,H共线，成立；
由以上三个特例，得tHgS→tHtS是恒等的射影对应，所以gS,tS,tH三点共线。
因为P,H,S共外接圆锥曲线，所以tP,tH,tS共线，且gP,gH = O,gS共线，所以有：
gS[gP,tP;B,C] = gS[O,tH;B,C] = A[O,tH;B,C]
只要证明： A[O,tH;B,C] = A[gP,tP;B,C]
分别考虑关于AB,AC的等角线和等截线，有
A[O,gP;B,C] = A[H,P;C,B] = A[tH,tP;B,C]
所以A[O,tH;B,C] = A[gP,tP;B,C]，命题得证
