推导基于以下定义
1/3=0.333…+m/3
1/3对应的无限循环小数为0.333…
1/9对应的无限循环小数为0.111…
0.333…与m有N位小数
公式
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2
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1/9=（1/3）^2
=0.333…*0.333…+2*0.333…*m/3+m^2/9
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0.3*0.3=0.09
0.33*0.33=0.1089
0.333*0.333=0.110889
0.3333*0.3333=0.11108889
……
0.333…*0.333…=0.111…1088…89
这里相乘的两个小数的位数是相同的
前面有N个“3”，则后面有（N-1）个“1”，1个“0”，（N-1）个“8”，1个“9”
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提一下，一个小数乘以一个整数，在不产生进位的情况下，位数是不变的，如0.222*3=0.666，仍是3位小数
2*0.333…*m/3
=0.666…*m/3
=0.222…*m
此时0.222…有N位小数，m也有N位小数
参照以下推导
0.2*0.1=0.02
0.22*0.01=0.0022
0.222*0.001=0.000222
……
前面有N个“2”，则后面有N个“0”和N个“2”
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将0.333…^2与0.222…*m相加
为更简便叙述，此处分为前N与后N
有关后N-1个“8”与“2”的相加
第1个“8”与第1个“2”相加，进1（这个1导致前第N位的“0”变成了“1”），余0
第2个“8”与第2个“2”相加，进1（这个1导致后第1位的“0”变成了“1”），余0
……
往下递推
第（N-1）个“8”与第（N-1）个“2”相加，进1，余0
此时，后第N位的“9”与“2”相加，进1
（使后第（N-1）位的“0”变成了“1”）
余1
故可知
1/9对应的无限循环小数0.111…的小数位数为2N
1/3对应的无限循环小数0.333…的小数位数为N
二者的小数位数存在2倍的关系
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验算
1/9=0.111…+m^2/9
两边同时乘以9
1=0.999…（2N个“9”）+m^2
m=0.00…01，N-1个“0”与1个“1”
m^2=0.000…01，2N-1个“0”与1个“1”
将m^2对应的“1”加进0.999…（2N个“9”）
从末尾开始反复进1
直到第1个“9”得1，进1，余“0”
得1.000…0（2N个“0”）
末尾的“0”不影响大小，所以1=1.000（2N个“0”）
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@a/sigma
我也不知道你能不能看懂，因为我后来推了一下乘法的，你可以试试在草稿纸上把0.3*0.3的竖式计算写出来，你往下写，你应该也能感觉到这种规律，如果感觉不到就算了，当我算错了