一个新的证明让一个几十年前的结论焕发新的生机，这个结论就是：所有的整数都能用分数之和来表示。数论学家一直致力于寻找隐藏的结构。当他们遇到一个不可避免的数字模式时，他们会对其进行测试，他们努力地——虽然经常失败——去探索在何种情况下一个给定的模式不会出现。牛津大学的托马斯·布鲁姆（Thomas Bloom）最新的一项研究回答了一个可以追溯到古埃及的问题，彰显了上述这种数字模式的生命力。达特茅斯学院的卡尔·波梅兰斯说：“这可能是数学上最古老的问题。”
这个问题涉及分子是1 的分数，例如1/2,1/7,1/122.这些“单位分数”对于古埃及人来说非常重要，这是因为他们的数字系统中只包含这一类分数。他们只能把复杂分数表示成单位分数的和，例如3/4=1/2+1/4.20世纪70年代，人们对这种加和的研究兴趣迎来了一个高潮。当时，保罗·厄尔多斯（Paul Erdős）和罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）提出了这样一个问题：设计一个不包含倒数相加和为1的子集的整数集有多难？例如，集合{2,3,6,9,13}就不满足条件，因为它包含子集{2,3,6}，这三个数的倒数相加和为1：1/2+1/3+1/6=1.更确切地说，厄尔多斯和格雷厄姆猜想，对整数集进行的任何足够大的正比例采样，都必须包含一个倒数相加为1的子集。如果初始集合满足对足够多的整数进行抽样的简单条件（这个条件也被称为“正密度”），那么即使这个集合里的数字故意选得很难找到这样一个子集，这个倒数之和为1的子集也一定会存在。蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说：“我只是觉得这是一个不可能的问题，任何正常人都不可能做到。我看不出来有什么明显的工具可以解决这个问题。”布鲁姆（Bloom）对厄尔多斯和格雷厄姆问题的关注源于一次课后作业：去年九月，他被要求向牛津大学的一个读书小组汇报一篇20年前的论文。
更确切地说，厄尔多斯和格雷厄姆猜想，对整数集进行的任何足够大的正比例采样，都必须包含一个倒数相加为1的子集。如果初始集合满足对足够多的整数进行抽样的简单条件（这个条件也被称为“正密度”），那么即使这个集合里的数字故意选得很难找到这样一个子集，这个倒数之和为1的子集也一定会存在。蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说：“我只是觉得这是一个不可能的问题，任何正常人都不可能做到。我看不出来有什么明显的工具可以解决这个问题。”布鲁姆（Bloom）对厄尔多斯和格雷厄姆问题的关注源于一次课后作业：去年九月，他被要求向牛津大学的一个读书小组汇报一篇20年前的论文。那篇论文的作者是一位名叫厄尼·克鲁特(Ernie Croot)的数学家，他解决了被称为着色版的厄尔多斯-格雷厄姆问题。在着色版问题中，整数被随机分到不同颜色的桶中：一些放在蓝色的桶中，一些放在红色的桶中，以此类推。厄尔多斯和格雷厄姆预测，无论使用多少种不同颜色的桶对这些数字进行分类，至少有一个桶中的数字集包含一个倒数相加之和为1的子集。
克鲁特从调和分析（一个跟微积分关系密切的数学分支）中引入了一个新的强有力的方法来证实厄尔多斯-格雷厄姆猜想。他的论文发表在该领域的顶级期刊《数学年鉴》上。
佐治亚大学的乔吉斯·佩特里迪斯（Giorgis Petridis）说：“克鲁特的论点读起来令人愉悦，这不仅需要创造力、天赋，还需要很强的技术能力。”
然而，尽管克鲁特的论文令人印象深刻，它却无法回答密度版的厄尔多斯-格雷厄姆猜想。因为克鲁特利用了着色水桶分类带来的便利性，而在实际数论中是没有这一简化条件的。
当把数字分到不同桶里的时候，克鲁特想要回避有很大质因数的合数。那些数的倒数加起来往往得到分母很大的分数，而不是简化为一些可以相加为1的简单的分数。因此克鲁特证明了如果一个集合包含足够多小质因数构成的数时，它就一定会包含一个倒数相加和为1的子集。克鲁特证明了至少有一个桶总是满足这一特性，这足以证明着色版本的结果。但是更一般的情况下，数学家不能只是简单地选择用水桶来说明问题。他们可能需要在一个不包含小质因数的桶中寻找一个解，在这种情况下，克鲁特的办法就不奏效了。
“这是我无法回避的问题。”克鲁特说道。但是二十年之后，当布鲁姆准备向他的读书小组分享克鲁特的论文时，他意识到他可以从克鲁特介绍的方法中得到更多的东西。布鲁姆说：“我想，克鲁特的方法实际上比它乍看起来强大得多，因此我想了几周，终于发现了它的强大之处。”
这个问题涉及分子是1 的分数，例如1/2,1/7,1/122.这些“单位分数”对于古埃及人来说非常重要，这是因为他们的数字系统中只包含这一类分数。他们只能把复杂分数表示成单位分数的和，例如3/4=1/2+1/4.20世纪70年代，人们对这种加和的研究兴趣迎来了一个高潮。当时，保罗·厄尔多斯（Paul Erdős）和罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）提出了这样一个问题：设计一个不包含倒数相加和为1的子集的整数集有多难？例如，集合{2,3,6,9,13}就不满足条件，因为它包含子集{2,3,6}，这三个数的倒数相加和为1：1/2+1/3+1/6=1.更确切地说，厄尔多斯和格雷厄姆猜想，对整数集进行的任何足够大的正比例采样，都必须包含一个倒数相加为1的子集。如果初始集合满足对足够多的整数进行抽样的简单条件（这个条件也被称为“正密度”），那么即使这个集合里的数字故意选得很难找到这样一个子集，这个倒数之和为1的子集也一定会存在。蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说：“我只是觉得这是一个不可能的问题，任何正常人都不可能做到。我看不出来有什么明显的工具可以解决这个问题。”布鲁姆（Bloom）对厄尔多斯和格雷厄姆问题的关注源于一次课后作业：去年九月，他被要求向牛津大学的一个读书小组汇报一篇20年前的论文。
更确切地说，厄尔多斯和格雷厄姆猜想，对整数集进行的任何足够大的正比例采样，都必须包含一个倒数相加为1的子集。如果初始集合满足对足够多的整数进行抽样的简单条件（这个条件也被称为“正密度”），那么即使这个集合里的数字故意选得很难找到这样一个子集，这个倒数之和为1的子集也一定会存在。蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）说：“我只是觉得这是一个不可能的问题，任何正常人都不可能做到。我看不出来有什么明显的工具可以解决这个问题。”布鲁姆（Bloom）对厄尔多斯和格雷厄姆问题的关注源于一次课后作业：去年九月，他被要求向牛津大学的一个读书小组汇报一篇20年前的论文。那篇论文的作者是一位名叫厄尼·克鲁特(Ernie Croot)的数学家，他解决了被称为着色版的厄尔多斯-格雷厄姆问题。在着色版问题中，整数被随机分到不同颜色的桶中：一些放在蓝色的桶中，一些放在红色的桶中，以此类推。厄尔多斯和格雷厄姆预测，无论使用多少种不同颜色的桶对这些数字进行分类，至少有一个桶中的数字集包含一个倒数相加之和为1的子集。
克鲁特从调和分析（一个跟微积分关系密切的数学分支）中引入了一个新的强有力的方法来证实厄尔多斯-格雷厄姆猜想。他的论文发表在该领域的顶级期刊《数学年鉴》上。
佐治亚大学的乔吉斯·佩特里迪斯（Giorgis Petridis）说：“克鲁特的论点读起来令人愉悦，这不仅需要创造力、天赋，还需要很强的技术能力。”
然而，尽管克鲁特的论文令人印象深刻，它却无法回答密度版的厄尔多斯-格雷厄姆猜想。因为克鲁特利用了着色水桶分类带来的便利性，而在实际数论中是没有这一简化条件的。
当把数字分到不同桶里的时候，克鲁特想要回避有很大质因数的合数。那些数的倒数加起来往往得到分母很大的分数，而不是简化为一些可以相加为1的简单的分数。因此克鲁特证明了如果一个集合包含足够多小质因数构成的数时，它就一定会包含一个倒数相加和为1的子集。克鲁特证明了至少有一个桶总是满足这一特性，这足以证明着色版本的结果。但是更一般的情况下，数学家不能只是简单地选择用水桶来说明问题。他们可能需要在一个不包含小质因数的桶中寻找一个解，在这种情况下，克鲁特的办法就不奏效了。
“这是我无法回避的问题。”克鲁特说道。但是二十年之后，当布鲁姆准备向他的读书小组分享克鲁特的论文时，他意识到他可以从克鲁特介绍的方法中得到更多的东西。布鲁姆说：“我想，克鲁特的方法实际上比它乍看起来强大得多，因此我想了几周，终于发现了它的强大之处。”
