当c≥9时如果 (2^a-1)(3^b-1) = c !，设 2^α ℓℓ c !，则 α≥3
因为2^a-1 和 2互素，所以 2^α ℓℓ 3^b-1
因为2³ ℓℓ 3²-1，按照升幂引理 b≥2^(α-2)
再用Legendre公式得到 α≥c - log₂(c+1)
当c≥9 时
①2^(c-2) > (c+1)^3 / 8
②3^[(c+1)/8] > 2c/5
③(2c/5)^(c+1) -1 > c !
所以 (2^a-1)(3^b-1) ≥ 3^2^(α-2)-1 ≥ 3^[2^(c-2)/(c+1)] -1 > 3^[(c+1)²/8] -1 > (2c/5)^(c+1) -1 > c !
只可能c≤8时原方程有解
检验得到正整数解只有 (a, b, c) = (1, 1, 2), (2, 1, 3), (4, 2, 5), (6, 4, 7)
（＾ｖ＾）

如果用到这个结论就做的更快了
当a≥2, n≥2时，aⁿ-1至少有一个不小于n的素因子
这样子由于3^b-1 ℓ c!，所以如果 b≥2，则b≤c
又因为b≥2^(α-2)，α≥c - log₂(c+1)，就得到 c(c+1)≥ 2^(c-2)，所以c≤8
再列举一下就可以了
类似这样还可以证明 (2^a - 1)(3^b -1) = c₁!*c₂!*…*c(k)! , 当max{c₁, c₂, …, c(k)}≥9时也是无正整数解的
因为a, b≤max{c₁, c₂, …, c(k)}，所以解只可能是a, b≤8的情况
并且由于7 ℓ 2^3-1 而3与(2^3-1)(3^b-1)互素，以及31 ℓ 2^5-1，127 ℓ 2^7-1，17 ℓ 2^8-1，13 ℓ 3^3-1，11 ℓ 3^5-1，13 ℓ 3^6-1，1093 ℓ 3^7-1，41 ℓ 3^8-1，只可能a≤2或a=4, 6，b≤2或b=4
再一一列举得到 (1! = 1省略不写了)
(2¹-1)×(3¹-1) = 2!
(2¹-1)×(3²-1) = (2!)³
(2¹-1)×(3⁴-1) 无解
(2²-1)×(3¹-1) = 3!
(2²-1)×(3²-1) = 4! = (2!)² × 3!
(2²-1)×(3⁴-1) = 2! × 5!
(2⁴-1)×(3¹-1) 无解
(2⁴-1)×(3²-1) = 5!
(2⁴-1)×(3⁴-1) 无解
(2^6-1)×(3¹-1) 无解
(2^6-1)×(3²-1) 无解
(2^6-1)×(3⁴-1) = 7!