同时乘负二分之一次（实数范围内等式左右两边需大于等于零

这需要学到对实数严格的定义（如戴德金分划）后才能证明，好像要先证明实数的阿基米德性质

这和开方的定义有关，楼主说的开方，其实指各次根号，定义为实数范围内取值，如仅有一实数根，则取唯一值，如有正负实根，则取正根。

幂运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。同底数幂相除，底数不变，指数相减。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

因为根号x是递增函数

几何原本的公设里有这样一条：等量加/减等量仍为等量。推广一下就是若x=y则f(x)=f(y)。在逻辑学里好像叫“同一者不可区分性原理(the indiscernibility of identicals)”。

对两个完全相同的事物（等式两边的数）做同一个操作（开根号），你为什么要去怀疑结果不一样？

大家都提到等式的“代入性质”
以及“完全一样”的含义
但是如果“代入性质”更本质，那么“等式同加不变性”和“等式同乘不变性”都可以认为是代入的推论，那么人们为什么还要单独把这两点拿出来强调？

简单来说是幂函数的性质，幂函数在第一象限递增

构造函数y=x2后证明单调

f(x)=√x 易证在[0，∞)上单调递增
所以对于非负数x1 x2 它们的大小关系与f(x1)与f(x2)的大小关系相同
当x1=x2时 f(x1)=f(x2) 也就是同时开根号等式依然成立