8927 239数学竞赛高中组P5

9000的预告：
设AB，BC，CD，DA与内切圆(I)切于P，Q，R，S，作圆(A，AP)，(B，BQ)，(C，CR)，(D，DS)。AD，BC交于E，AB，CD交于F，AC，BD交于G。 由条件，构造以X为圆心的圆c_1, c_2和以Y圆心的圆c_3, c_4，使得c_1与(A, AP), (C, CR)外切，c_2与(B, BQ), (D, DS)外切，c_3与(A, AP), (C, CR)内切，c_4与(B, BQ), (D, DS)内切。注意到(A，AP)，(B，BQ)，(C，CR)，(D，DS)都与(I)正交，并且X，Y，I共线，以(I)为基圆的反演使得c_1，c_3互换，也使得c_2，c_4互换。由于c_1， c_2圆心相同，c_3， c_4圆心相同，它们分别重合。
称平面ABC为α。对圆(A，AP),(B，BQ),(C，CR),(D，DS),c_1,c_3，在空间中取点A', B', C', D', X', Y'使得它们与对应圆心的连线垂直α且长度等于对应半径（X'和其他五点分居α两侧）。作顶点为X',Y'，轴为XX',YY'，倾斜角均为45度的圆锥Co_1和Co_2。显然，A', B', C', D'均在Co_1和Co_2上。由于Co_1和Co_2均与一个无穷大的球相切，它们的交是圆锥全新并上一个无穷远的东西，所以A'，B'，C'，D'共面，称之为ß。因为PR, AD的交点和PR, BC的交点都在ß上，如果它们不同，那么PR在ß上。同理，QS在ß上，但α,ß的交线唯一，矛盾！因此，PRE共线，QSF共线，α,ß的交线就是EF。
EF是G关于(I)的极点，所以IG垂直EF。但有对称性，X'Y'垂直EF，通过正交投影XY垂直EF，故X，Y，I，G共线。

part1借鉴了一楼的思路，反演

设AC∩BD=J,AB∩CD=P,AD∩BC=Q，Γ与四边形的切点分别为E,F,G,H，只需证明JXY共线。断言1：JI⟂PQ.注意到牛顿定理有HJF,EJG共线，点J关于Γ的极线为PQ□由断言1只需再证明XY⟂PQ.断言2：存在以X为圆心的圆ω_1同时与⊙(A,AE),⊙(B,BF),⊙(C,CG),⊙(D,DH)外切，以及以Y为圆心的圆ω_2同时与上述四圆内切。先给出两个引理。引理1：作圆ω与平面上两定圆以相同切法相切（同时外切或者同时内切），若限定ω圆心在定直线上，则ω最多有两种取法。引理1证明：若取消圆心在定直线上的限定，则这样的圆的圆心轨迹在一条双曲线上，而双曲与直线最多有两个交点□引理2：两同心圆经过一个反演，若反演中心不是公共圆心，则反演像不为同心圆。回到断言2的证明：由题意可以作出以X为圆心且与⊙(A),⊙(C)外切切的圆ω_1,以X为圆心且与⊙(B),⊙(D)外切的⊙ω_1',以Y为圆心且与⊙(A),⊙(C)内切的圆ω_2,以Y为圆心且与⊙(B),⊙(D)内切的圆ω_2'.考虑以Γ为基圆的反演⊙(A),⊙(B),⊙(C),⊙(D)自反演。分析⊙ω_1的反演像，它应该与⊙(A),⊙(C)内切且圆心在直线IX上，有引理1知其即为⊙ω_2，同理⊙ω_1'的像为⊙ω_2'，再由引理2知⊙ω_1,⊙ω_1'必为等圆.（思路来自猫小肚子vip）□断言3：[P,G;D,C]=[P,E;A,B]=-1。断言3证明：只需证明点P为⊙C,⊙D外位似中心，设点P'满足[P',G;D,C]=-1，只需证P'=P，考虑以P'为中心P'G^2为幂的反演，则⊙(D)的像为⊙(C)，⊙ω_1,⊙ω_2自反演。考察⊙(A)的反演像，其与⊙(C),⊙ω_1外切且与⊙ω_2内切，也即为⊙(B)，⇒ABP'共线，P'=P。接下来通过幂差法证明目标XY⟂PQ。设AE=AH=a,BE=BF=b,CF=CG=c,DG=DH=d,PE=PG=m,QF=QH=n，对ΔXCD及点P应用Stewart线长公式
XP^2=\frac{-XC^2·PD+XD^2·PC}{CD}+PD·PC。
同理对ΔXAB及点P应用Stewart线长公式XP^2=\frac{-XB^2·PA+XA^2·PB}{AB}+PA·PB。
综合以上两式有XP^2(AB+CD)=XP^2·AB+XP^2·CD=XA^2·PB-XC^2·PD+XD^2·PC-XB^2·PA+PA·PB·AB+PC·PD·CD。
同理得到XQ^2(AD+BC)=XA^2·QD-XC^2·QB+XB^2·QC-XD^2·QA+QA·QD·AD+QB·QC·BC。
注意到AB+CD=AD+BC=2(a+b+c+d),PB-QD=PD-QB=m-n+b-d,PC+QA=PA+QC=m+n+c-a。两式相减计算幂差：2(a+b+c+d)·(XP^2-XQ^2)=(XA^2-XC^2)(m-n+b-d)+(XD^2-XB^2)(m+n+c-a)+PA·PB·AB+PC·PD·CD-QA·QD·AD-QB·QC·BC。
同理得到2(a+b+c+d)·(YP^2-YQ^2)的对称表达式，计算差值得到。
2(a+b+c+d)(XP^2-XQ^2-YP^2+YQ^2)=(XA^2-XC^2-YA^2+YC^2)(m-n+b-d)+(XD^2-XB^2-YD^2+YB^2)(m+n+c-a)。
注意到XA-XC=YC-YA=a-c,XD-XB=YB-YD=d-b,XA+XC+YA+YC=XB+XD+YB+YD=2r_1+2r_2（ω_1,ω_2半径）。
得到2(a+b+c+d)(XP^2-XQ^2-YP^2+YQ^2)=(2r_1+2r_2)(a-c)(m-n+b-d)+(2r_1+2r_2)(d-b)(m+n+c-a)。
XY⟂PQ⇔XP^2-XQ^2-YP^2+YQ^2=0⇔(a-c)(m-n+b-d)+(d-b)(m+n+c-a)=0。
由[P,G;D,C]=[P,E;A,B]=-1得到m=\frac{2cd}{c-d}=\frac{2ab}{b-a}，同理得到n=\frac{2bc}{c-b}=\frac{2ad}{d-a}，代入上式即证□