事情起因源于这样一道习题:

这里我有个关于定义的疑问，请教下大佬: 我看的书上并没有直接给出环范畴coker的定义，而是在前面给了个Ab里的，如下图，习题让我照着这个Ab里的给出环coker的定义然后证明它。刚才我翻了下书，书里确实没有要求pi(φ) = 0, 网上查了下cokernel的定义，nlab里似乎也没有提到这个条件，但是我查了下Maclane的category for the working mathematician，里面确实提到了要求为0, 所以定义不一样是怎么回事？

下图，MacLane的Category for the working mathematician里cokernel的定义：

另外请问Ring里cokernel是什么，如何证明？