如果成立，是充分条件还是必要条件

好像是必要条件，S_n收敛那么它的子列S_{(2^n)*k}自然也收敛（k为任意正整数），那么子列相邻两项的差自然趋于0；但另一方面如果S_{2^n}-S_{2^(n-1)}是调和级数（或者更高数量级的），比如令a_n在n=2^k时（k是正整数）取1/k,其余项取0，则级数自然发散

也可以举这个例子说明是必要不充分条件，当a_n = 1/[n*log(n+1)] 时，a_n单调递减，对任何正整数n都满足 S_2n - S_n ≤ n*a_(n+1) < 1/log_(n+2)
当n→∞时lim 1/log(n+2) = 0，所以lim(S_2n - S_n) = 0，同时S_n又是无界的

是的，详情参考柯西收敛准则

对的，对所有都成立
假设Sn收敛到S，n＞N时|Sn-S|＜ε
|S2n-Sn|≤|S2n-S|+|Sn-S|＜2ε