x^3的值域为R且有反函数

对于任意实数a，由代数基本定理，x^3=a在复数域有3个根x1，x2，x3，假设根全部是虚数则它们的共轭也是方程的根，所以3个根至少有一个是实数

你有啥实数公理能用吗, 以确界原理为例. 对于实数a, 考虑集合A={x|x^3<a}, 它有上界, 于是必然有上确界S. 同理集合B={x|x^3>a}也必然有下确界I. 下面我们证明I=S.
若S∈A, 则S^3<a, 考虑
0<d<min{1,(a-S^3)/(3a^2+3a+1)}, 就有
(S+d)^3=S^3+3S^2d+3Sd^2+d^3
<S^3+(3a^2+3a+1)d
<a
于是S<S+d∈A, 这与S是A的上界矛盾, 从而S不属于A, 即S^3≥a. 类似的, 我们有I^3≤a. 由于B中的元素都是A的上界, 从而S不大于B中元素(上确界是最小的上界), 进而S是B的一个下界, 于是S≤I, 而由上可知a≥I^3≥S^3≥a
故只能有S^3=I^3=a, 于是得证.