【思维成果】
【1】酒神(ID名:毒酒滴冻鸭)首先回复本题,提出了他一个想法:
四个士兵可以组成一个菱形,那么调校这个菱形的角度可以得出0至1间任意面积的形状,例如正方形面积是1,而很窄的菱形面积可以无限接近0。。。那么只要把一组士兵组成一个面积为5的十字图案(五个边长1正方形组成的十字形,类似瑞士国旗中间的白十字),另外一组组成三个面积为2/3的菱形,再各放在一个等边三角形的三个点。那么总面积就是5+3*2/3 = 7。
首先,对于士兵能得到的形状及面积,参照尺规做图,必须有理有据。
如:菱形确实能得到,其内角度为0形成直线能满足题设;其内角度为90度可以理解为士兵“向前看左转右转”理所应该得到的,形成正方形面积为1,能满足题设;内角度60度依靠等边三角形原则得到…。但是内角度为10度,就得给个说法士兵怎么能得到这种角度,还有酒神提到的面积2/3又是如何得到?得有明确说法才可,不能说图上量出来是就是,而是结合现场题中士兵等题设属性。
如何得到面积为2/3的菱形?
酒神的作图步骤:
一、假设有长度为1的线段AB,先在A点向右1/3的距离作C点(尺规应该可以三分线段)。
二、从A向左延长1/3的距离作D点(可用AC作半径画圆达成)。
三、以BD(长度为4/3)作为对角线,作出图上蓝色正五边形(据说可以尺规达成,但是俺没有研究具体作法)。
四、从正五边形B点下方近角向上作垂线,交AB于E点。
五、根据正五边形特性,可得BE长度为(3-√5)/3,CE长度为(√5-1)/3(可用勾股定理和二元二次方程组解出来)。
六、从E点向上延伸至F点,使EF长度为2/3(可用尺规达成)。
七、AE长度为1/3+(√5-1)/3=√5/3,EF长度为2/3,则根据勾股定理AF长度为√(5+4)/3=1。
八、以A、B、F三点作菱形ABGF,则此菱形面积为2/3*1=2/3。
如此就可以用尺规作出面积为2/3的菱形,可以用线段AB再作一个正三角形,然后在其余两边如法施为,就可以得出三个这样的菱形而且整个图案120°旋转对称。

点评:【1】将1三等分:可行。【2】是否能获得酒神想要的五边形?——不可行。
但是有补救办法:
要先使得5个士兵先形成五角星,然后再经过几个步凑获得五边形的一个角及对应两条边,然后以此补齐形成,都是以士兵之间为1来实现的。先在上图D点弄出一个边长1五角星(从D到BC中点为其横线),然后延长从D点到右下角的线1/3就能得出原蓝色正五边形的右下角。
综上,得图可行!
形1=2平米,形2=5平米,其中形1获得很不容易的,需借助形2的士兵帮忙配合排队成型,可以想象一下,很有趣...
下图供参考,每个点代表一个士兵。
