奇妙思维吧 关注:2,798贴子:18,604
  • 6回复贴,共1

奇妙思维之士兵排队(三)

只看楼主收藏回复

思维题:“队长带着24名小士兵,每名士兵拿着一根固定长度的小杆子,士兵与士兵之间可以用杆子连起来,称之为一个联系;由于受过训练,所以士兵-杆子-士兵任意一个联系之间距离为固定值1米,可将一个联系视为一个长度为1的直线段(忽略士兵本身体积等因素)。现在队长让他们分为2组,每组12人,每组组员互相用杆子联系围合成为一个图形,该图形可以绕中心实现旋转对称,正好2组形成的图形加起来面积为7平方米,应该怎样排队?”
要求/备注:
1、一个士兵-杆子-士兵联系为不可拐弯的线段;
2、联系与联系之间可以形成不同角度,如想象3个1能组合成等边三角形,每个角度为60°;
3、所谓绕中心实现旋转对称,就是至少有一对轴对称才可以满足旋转一定角度能实现的图形,本次要求旋转对称度不小于3。


IP属地:广东1楼2024-09-20 18:07回复
    提示:旋转对称度3+旋转对称度4,即旋转120°实现重叠+旋转90°实现重叠。


    IP属地:广东2楼2024-09-23 14:47
    回复
      【思维成果】
      【1】酒神(ID名:毒酒滴冻鸭)首先回复本题,提出了他一个想法:
      四个士兵可以组成一个菱形,那么调校这个菱形的角度可以得出0至1间任意面积的形状,例如正方形面积是1,而很窄的菱形面积可以无限接近0。。。那么只要把一组士兵组成一个面积为5的十字图案(五个边长1正方形组成的十字形,类似瑞士国旗中间的白十字),另外一组组成三个面积为2/3的菱形,再各放在一个等边三角形的三个点。那么总面积就是5+3*2/3 = 7。
      首先,对于士兵能得到的形状及面积,参照尺规做图,必须有理有据。
      如:菱形确实能得到,其内角度为0形成直线能满足题设;其内角度为90度可以理解为士兵“向前看左转右转”理所应该得到的,形成正方形面积为1,能满足题设;内角度60度依靠等边三角形原则得到…。但是内角度为10度,就得给个说法士兵怎么能得到这种角度,还有酒神提到的面积2/3又是如何得到?得有明确说法才可,不能说图上量出来是就是,而是结合现场题中士兵等题设属性。
      如何得到面积为2/3的菱形?
      酒神的作图步骤:
      一、假设有长度为1的线段AB,先在A点向右1/3的距离作C点(尺规应该可以三分线段)。
      二、从A向左延长1/3的距离作D点(可用AC作半径画圆达成)。
      三、以BD(长度为4/3)作为对角线,作出图上蓝色正五边形(据说可以尺规达成,但是俺没有研究具体作法)。
      四、从正五边形B点下方近角向上作垂线,交AB于E点。
      五、根据正五边形特性,可得BE长度为(3-√5)/3,CE长度为(√5-1)/3(可用勾股定理和二元二次方程组解出来)。
      六、从E点向上延伸至F点,使EF长度为2/3(可用尺规达成)。
      七、AE长度为1/3+(√5-1)/3=√5/3,EF长度为2/3,则根据勾股定理AF长度为√(5+4)/3=1。
      八、以A、B、F三点作菱形ABGF,则此菱形面积为2/3*1=2/3。
      如此就可以用尺规作出面积为2/3的菱形,可以用线段AB再作一个正三角形,然后在其余两边如法施为,就可以得出三个这样的菱形而且整个图案120°旋转对称。

      点评:【1】将1三等分:可行。【2】是否能获得酒神想要的五边形?——不可行。
      但是有补救办法:
      要先使得5个士兵先形成五角星,然后再经过几个步凑获得五边形的一个角及对应两条边,然后以此补齐形成,都是以士兵之间为1来实现的。先在上图D点弄出一个边长1五角星(从D到BC中点为其横线),然后延长从D点到右下角的线1/3就能得出原蓝色正五边形的右下角。
      综上,得图可行!
      形1=2平米,形2=5平米,其中形1获得很不容易的,需借助形2的士兵帮忙配合排队成型,可以想象一下,很有趣...
      下图供参考,每个点代表一个士兵。


      IP属地:广东4楼2024-10-15 10:22
      回复
        将1三等分:可行。
        如图,利用士兵视线的“三点一线”来排列实现。
        AC=1,士兵排列需满足AB=AD=DE=AH=HI=IC=1,进而加入士兵J、K实现AC三等分。每次三等分要利用10个士兵,已经排好的固定士兵不能再动,所以必定单组人数不够,需要借用第二组来,好在第二组士兵组合的图形不必借用太多额外士兵。

        基于此,其实获得上述形1有更简洁的方式,简而言之就是菱形的一边确定2名士兵站好后,获得与其平行的另外2名士兵的排队,平行线之间距离为2/3,然后借助士兵视线“三点一线”落实菱形第二边。


        IP属地:广东5楼2024-10-15 10:27
        回复
          【2】当然,有可以秒本题的想法,获得也很简单。如下图,形1就是有些非常规思维,即存在无面积的排队及将士兵重叠于一点。


          IP属地:广东6楼2024-10-15 10:29
          回复
            进一步,可以继续深化
            【深化版】新增的限制条件如下:
            【1】2组队伍都只依靠自己队伍的士兵进行排队;
            【2】每组队伍形成的图案只有一个围合成型的图案;(即深化版不再容许出现本帖之前的出现3、4个闭合的情况)
            【3】对于士兵的站位,移动后能合理找到原位置复位参考的才可以用于其他构造,否则不能被临时征用于别的站位。


            IP属地:广东7楼2024-10-15 10:30
            回复
              对于7楼提的继续深化问题,采用“互补”即可实现。
              参考答案如下:

              同样的,还能对图形进行一些变形,形1还可以是如下图形:



              IP属地:广东8楼2024-10-15 10:33
              回复