场下来看，其实并不困难，哎......

假设A, B最大公因数为d, A=a×d, B=b×d, a, b是互素正整数
由条件(2)可知a,b∈S，由条件(1)可知a的任意次非负整数幂a^k∈S
并且由条件(4)，对任何正整数n∈S，An+B∈S，an+b是An+B的因数，则an+b∈S
对任何一个与a, b都互素的素数p和任何正整数t，设u=φ(p^t)是正整数
因为b∈S，令n₁= b，则n₁∈S
对每个正整数k，再令n[k+1] = a^u×n[k]+b
由于包括n₁在内，n[k]始终与a互素，所以由条件(3), 若n[k]∈S，则a^(u-1)×n[k]∈S，再由条件(4)可得n[k+1]=a×a^(u-1)×n[k]+b∈S
从而由数学归纳法可得n[k]∈S对任意正整数k成立
按照欧拉定理，n[k+1]= a^u×n[k]+b≡n[k]+b (mod p^t)对任意正整数k成立
由数学归纳法可得 n[k]≡bk(mod p^t)，则n[p^t]≡0(mod p^t)
由n[p^t]∈S可得 p^t∈S
所以对任何与b互素的p以及任何正整数t，p^t∈S
按照唯一分解定理任何与b互素的大于1的正整数N，都可以分解成若干个与b互素的素数幂次之积，由条件(3)可知N∈S
又由条件(1)可知 1∈S
因为b | B，所以上面结论中包含了所有与B互素的正整数，这些数全都属于S