这个题是从其他题中受到启发编出来的

设数列a[n]= x^n+x^(-n)，(默认x≠0了哇)
那对任意整数n, m，a[n+m]+a[n-m]=a[n]*a[m]
由于a[0]=2是有理数，所以如果a[m]是有理数，那a[2m]= a[m]²-a[0]，a[3m]=a[2m]*a[m]-a[m]也是有理数
这样用数学归纳法可以证明若a[m]是有理数，那对任意整数k，a[km]=a[-km]都是有理数
如果正整数a, b互素，由裴蜀定理存在正整数u, v使au=bv+1，设au=t, bv=t-1，则a[t]和a[t-1]都是有理数
由于a[t+1]+a[t-1]= 2a[t]a[1]，a[t+1]a[t-1]= a[2t]+a[2] = a[t]²+a[1]²-2a[0]
所以 (2a[t]*a[1]-a[t-1])*a[t-1] = a²[t]+a²[1]-2a[0]
设p=2a[t]a[t-1]，q=a²[t-1]+a²[t]-2a[0]，p, q都是有理数
则a²[1]- p*a[1] + q = 0 (*)

这时设b[0]=2, b[1]= p-a[1]，b[n]= b[1]*b[n-1] - b[n-2] (n≥2)
令c[n]=a[n]+b[n], d[n]=(a[n]-b[n])*(a[1]-b[1]) (n≥0)
则c[0]=4，d[0]=0，c[1]=p，d[1]= (a[1]-b[1])² = (2a[1]-p)²= 4a²[1] - 4pa[1]+p² = p²-4q 是有理数
并且因为(*)有实数解a₁，所以p²-4q>0
由于 2(a[n]+b[n]) + 2(a[n-2]+b[n-2]) = 2a[1]a[n-1] + 2b[1]b[n-1] = (a[1]+b[1])*(a[n-1]+b[n-1]) + (a[1]-b[1])(a[n-1]-b[n-1])
2(a[n]-b[n]) + 2(a[n-2]-b[n-2]) = 2a[1]a[n-1] - 2b[1]b[n-1] = (a[1]+b[1])*(a[n-1]-b[n-1]) + (a[1]-b[1])(a[n-1]+b[n-1])
所以 c[n]+c[n-2] = p/2*c[n-1] + d[n-1]/2
d[n]+d[n-2] = p/2*d[n-1] + (p²-4q)/2*c[n-1]
由数学归纳法可得对任何正整数n，c[n]和d[n]都是有理数
所以如果存在正整数n使a[n]= c[n]/2+ d[n]/2(2a₁-p) 且d[n]≠0，那a₁一定是有理数
再往后要说明d[n]是四阶线性递推，除了特殊情况以外只有有限多处等于0~~~太麻烦了，不想算了

@蔸蔸白