孪生素数对个数下界值的公式推导
原创作者：崔坤
建立双底等差数列组合数模：
上底S：1，3，5，…，(2n-1)
下底D：3，5，7，…，(2n+1)
在对素数分布展开的深度探究中，我们获取了一个有关孪生素数对个数的饶有兴味的结论。D中有：
π(x)-1个奇素数，
有Q(x)个S中的奇合数与D中对应的奇素数的个数，有L(x)孪生素数对，奇数x≥9。
关系式:
π(x) - 1 = Q(x) + L(x) ...... (1.1)
首先，依据已知条件（1.1）能够明确，π(x) > Q(x)
接下来，针对自然数 x 内所有的合数（涵盖偶合数与奇合数）在 x 中的密度进行考量，用数学表达式呈现为 1 - π(x)/x 。由此，我们推导出一个关键的不等式关系：
π(x)×(1 - π(x)/x) > Q(x) ...... (2.1)
设定 f(x) = π(x)(1 - π(x)/x)，
不难证明 f(x)为增函数。
于是有：f(x) > Q(x) ...... (2.2)
为了验证上述不等式对于奇数 x ≥ 9 始终成立，我们采用数学归纳法。具体步骤如下：
第一步：验证基础情况
当 x = 9 时，计算 f(9) 的值：
f(9) = π(9)×(1 - π(9)/9)
= 4×(1 - 4/9) = 20/9 > 2
由于 Q(9) = 0 （因为 9 以内的奇数中不存在合数），显然 f(9) > Q(9)。
所以，当 x = 9 时，不等式(2.2)成立。
第二步：假设与递推
假设当奇数 x = k （k ≥ 9）时，不等式 f(k) > Q(k) + 2 > Q(k) 成立。接下来，证明当 x = k + 2 时，不等式依然成立。
根据π(x)和 Q(x)的性质，存在两种可能的情形：
A. 当π(k + 2) = π(k) 且 Q(k + 2) = Q(k) 时，能够得出：
f(k + 2) > f(k) > Q(k) = Q(k + 2)
f(k + 2) > Q(k + 2)
在此种情况下，(2.2)式成立。
B. 当π(k + 2) = π(k) + 1 时，
有两种子情况需要考虑：
B/1: 若 Q(k + 2) = Q(k) + 1 ，则：
f(k + 2) > f(k) > Q(k) + 2
= Q(k + 2) + 1 > Q(k + 2)
f(k + 2) > Q(k + 2)
在此子情况下，(2.2)式也成立。
B/2: 若 Q(k + 2) = Q(k) ，则：
f(k + 2) > f(k) > Q(k) = Q(k + 2)
f(k + 2) > Q(k + 2)
同样，在此子情况下，(2.2)式成立。
综上所述，通过数学归纳法，
成功证明了对于一切奇数 x ≥ 9 ，不等式 f(x) = π(x)×(1 - π(x)/x) > Q(x)恒成立。
由(1.1)和（2.1）式可以得到：
π(x)×(1 - π(x)/x) > π(x) - 1 - L(x)
进而推出：L(x) > π²(x)/x - 1
根据切比雪夫不等式下极限：
π(x) ≥ 0.92129x/lnx
则有 L(x) ≥ 0.8487x/(lnx)² - 1
故而孪生素数对下界函数为：
Linf(x) = 0.8487x/(lnx)² - 1
显然，当奇数 x ≥ 9 时，
0.8487x/(lnx)² - 1 为严格单调增函数，
所以 L(x) 有无穷多个。
最终结论：
存在无穷多个素数 p ，
使得 p + 2 也是素数。

例题：奇数x ≥1,x²~(x+1)²之间恒有孪生素数对
证明：
因为奇数x ≥1，所以(x+1)²>x²
又Linf(x) = 0.8487x/(lnx)² - 1为严格单调增函数
所以Linf((x+1)²)- Linf(x²)>0
故奇数x ≥1,x²~(x+1)²之间恒有孪生素数对。

彻底解决了猜想！！！

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