求BD的长有两种解法，以下解法一是此前吧友给出的解答。
解法一：
设A点关于CD的对称点为P，△PBC的外心为O，可得正△ACP，筝形BCPA，PB垂直平分AC，∠BPC=30°，∠BOC=60°，可得正△BOC，∠BOP=2∠BCP=140°，∠OPB=∠OBP=20°，∠OPC=10°，∠PDC=∠ADC=40°，∠APD=∠PAD=50°，∠OAC=∠OAP=30°，∠OAD=80°=∠PDA，∠OPD=∠OPA+∠APD=100°，∠OPD+∠PDA=180°，可得OP∥AD，OPDA是等腰梯形，DO=AP=AC=n，BO=BC=BA=m，∠AOD=∠APD=50°，∠BOA=∠BAO=40°，∠BOD=90°，BD²=BO²+DO²BD=√（m²+n²）
解法二：
设点P为点B关于AC对称，连接PA、PC、PD，在CD上取一点E，使PE=PC，连结AE、AP，则：∠PAC=∠PCA=10°，∠PCD=∠PEC=20°，可知：PA=PC=PE，易得：∠APC=160°，∠CPE=140°，即得：∠APE=360°-∠APC-∠CPE=60°，可知：△APE是正三角形，得：PE=AE，∠PAE=60°，得：∠DAE=∠PAD-∠PAE=40°=∠A DC，可知：AE=DE=PE，即：∠EPD=∠EDP，由：∠PEC=∠EPD+∠EDP=20°，得：∠EPD=∠EDP=10°，显然：等腰△PAC≌等腰△EDP，可得：AC=PD=n；以PC为一边向CD一侧作等边△PCF，连接DF，则：CF=CP=CB=AB=m，∠FCD=∠PCF-∠PCD=40°=∠BCD，可知：△FCD≌△BCD，得：FD=BD，在△PCD中易得∠CPD=150°，则：∠FPD=∠CPD-∠CPF=150°-60°=90°，可知：△FPD是直角三角形，得：FD²=PF²+PD²，即：BD²=PF²+PD²=AB²+AC²，得：BD=√（m²+n²）
解法一：
设A点关于CD的对称点为P，△PBC的外心为O，可得正△ACP，筝形BCPA，PB垂直平分AC，∠BPC=30°，∠BOC=60°，可得正△BOC，∠BOP=2∠BCP=140°，∠OPB=∠OBP=20°，∠OPC=10°，∠PDC=∠ADC=40°，∠APD=∠PAD=50°，∠OAC=∠OAP=30°，∠OAD=80°=∠PDA，∠OPD=∠OPA+∠APD=100°，∠OPD+∠PDA=180°，可得OP∥AD，OPDA是等腰梯形，DO=AP=AC=n，BO=BC=BA=m，∠AOD=∠APD=50°，∠BOA=∠BAO=40°，∠BOD=90°，BD²=BO²+DO²BD=√（m²+n²）
解法二：
设点P为点B关于AC对称，连接PA、PC、PD，在CD上取一点E，使PE=PC，连结AE、AP，则：∠PAC=∠PCA=10°，∠PCD=∠PEC=20°，可知：PA=PC=PE，易得：∠APC=160°，∠CPE=140°，即得：∠APE=360°-∠APC-∠CPE=60°，可知：△APE是正三角形，得：PE=AE，∠PAE=60°，得：∠DAE=∠PAD-∠PAE=40°=∠A DC，可知：AE=DE=PE，即：∠EPD=∠EDP，由：∠PEC=∠EPD+∠EDP=20°，得：∠EPD=∠EDP=10°，显然：等腰△PAC≌等腰△EDP，可得：AC=PD=n；以PC为一边向CD一侧作等边△PCF，连接DF，则：CF=CP=CB=AB=m，∠FCD=∠PCF-∠PCD=40°=∠BCD，可知：△FCD≌△BCD，得：FD=BD，在△PCD中易得∠CPD=150°，则：∠FPD=∠CPD-∠CPF=150°-60°=90°，可知：△FPD是直角三角形，得：FD²=PF²+PD²，即：BD²=PF²+PD²=AB²+AC²，得：BD=√（m²+n²）
