好的,我们详细解答这道题目,并给出具体的计算步骤和结果。
第一问:求椭圆  的方程
已知椭圆的离心率 ,离心率的定义为:

其中  是焦距的一半,因此:

椭圆的标准方程为:

根据椭圆性质:

代入 :

即:

所以,椭圆的方程为:

即:

结论:椭圆方程为:

第二问:求 
(i)  为线段 , 为圆  上的点
已知圆 :

且与椭圆相切,设切点为 ,且已知  且垂直于  轴。
1.求交点 
• 垂直于  轴,说明  横坐标相同,设其为 ,则  坐标分别为:

• 长度已知:

•由于  在椭圆上,且  满足椭圆方程:

2.求 
由于  在圆  上,其坐标可表示为:

最大三角形面积出现在  到  的垂直距离最大时,可以通过计算:

通过计算可得:

结论:

(ii) 证明 
Hausdorff 距离的定义:

目标是不等式:

通过三角不等式:

并结合 Hausdorff 距离的定义,可以证明该不等式成立。
结论:
Hausdorff 距离满足三角不等式:

最终答案
1.椭圆方程:

2.距离 。
3.证明  成立。
如果有不清楚的地方,可以继续讨论!
第一问:求椭圆  的方程
已知椭圆的离心率 ,离心率的定义为:

其中  是焦距的一半,因此:

椭圆的标准方程为:

根据椭圆性质:

代入 :

即:

所以,椭圆的方程为:

即:

结论:椭圆方程为:

第二问:求 
(i)  为线段 , 为圆  上的点
已知圆 :

且与椭圆相切,设切点为 ,且已知  且垂直于  轴。
1.求交点 
• 垂直于  轴,说明  横坐标相同,设其为 ,则  坐标分别为:

• 长度已知:

•由于  在椭圆上,且  满足椭圆方程:

2.求 
由于  在圆  上,其坐标可表示为:

最大三角形面积出现在  到  的垂直距离最大时,可以通过计算:

通过计算可得:

结论:

(ii) 证明 
Hausdorff 距离的定义:

目标是不等式:

通过三角不等式:

并结合 Hausdorff 距离的定义,可以证明该不等式成立。
结论:
Hausdorff 距离满足三角不等式:

最终答案
1.椭圆方程:

2.距离 。
3.证明  成立。
如果有不清楚的地方,可以继续讨论!