集合论是无穷的数学科学。它研究遍及整个现代数学的抽象对象——集合的性质。集合论的语言，因其简明扼要，足以完全地使所有的数学概念形式化，因此集合论，与谓词演算一起，构成数学的真正基础。作为一种数学理论，集合论具有丰富的内在结构，其方法作为强大的工具用于数学的诸多领域。集合论及其对于协调性和独立性证明的重视，提供测定多种数学命题协调性强度的一种量度。集合论当前的研究主要有四大方向，所有这些都归结于且旨在这一理论的最终目标：描述数学的结构。它们是：内模型，独立性证明，大基数和描述集合论。请参阅下面的有关章节。

▪ 集合论的本质
▪ 集合论的起源
▪ 连续统假设
▪ 公理集合论
▪ 选择公理
▪ 内模型
▪ 独立性证明
▪ 大基数
▪ 描述集合论
▪ 参考文献
▪其它网络资源
▪ 相关条目

3、连续统假设
由于连续统假设业已成为集合论中最著名的问题，就让我们来解释一下它究竟说的是什么。最小的无穷基数是一个可数集合的势。所有整数的集合是可数的，所有有理数的集合同样如此。另一方面，所有实数的集合却是不可数的，其基数大于最小的无穷基数。一个自然的问题出现了：这个基数（连续统）就是接下来的基数吗。换句话说，介于可数和连续统之间没有基数，是这个样子的吗？由于康托没能发现任何实数的集合其基数恰好位于可数和连续统之间，因而他猜测连续统正是下一个基数：连续统假设。康托本人花费了他大部分的余生试图证明连续统假设，其他许多数学家也试过。这其中就有大卫·希尔伯特（David Hilbert），十九世纪最后几十年第一位的数学家。在1900年巴黎举办的世界数学家大会上，希尔伯特提出了一张当时未能解决的主要问题名单，在希尔伯特名单中连续统假设是第一个问题。
尽管经过许多数学家的努力，直到1963年问题依然没有解决，而可以这样说在某种意义上这个问题至今还未解决。参见第7节 独立性证明 。

4、公理集合论
在康托新的发现后几年里，集合论的发展一直没有特别关注集合应该如何来精确地定义。康托非形式的“定义”对于新理论中的证明是足够的，这理解为可以通过将非形式的定义重新措辞变成公理系统（system of axioms）而使该理论形式化。显然，二十世纪的早期人们必须准确地说明集合论做了哪些基本假设；也就是说，对于公理集合论的需要已经产生。这是由恩斯特·策梅罗（Ernst Zermelo）完成的，公理的直接起因有两个方面。第一个方面的起因是集合论中悖论的发现。这个悖论被称作罗素悖论（Russell*s Paradox）。考虑不是自身一个元素的所有集合的“集合”S 。如果人们承认所有这样的集合能够组成一个集合这种原则，那么 S 应该是一个集合。然而不难看出这导致一个矛盾（集合 S 是它自身的一个元素吗？）
通过谨慎地选择构造的原则罗素悖论可以避免，以便人们在阻止反常集合存在时还具有通常数学论证所需的表达能力。关于进一步的讨论请参见策梅罗—弗伦克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory）中的补充。为避免不协调性必须付出的一个代价是一些“集合”不存在。例如，不存在“全”集（所有集合的集合），不存在所有基数的集合，等等。
公理的另一种起因更加微妙。在基数和序数的康托理论发展过程中是否每个集合都能够具有某种结构引发一个问题，被称为集合的良序（well-ordering）。策梅罗证明确实每个集合都可良序，但这只在他引入一个看来不能从其他更为自明的原则推得的新公理后才成立。他的选择公理已经成为现代数学的一个标准工具，但并非没有一些数学家和数学与哲学著作论述的众多反对。选择公理的历史与另一个声明狼籍的公理，欧几里德第五公设极其相似。

5、选择公理
选择公理指出对于每个互不相交的非空集合都存在一个与其中每个集合恰有一个成员相同的集合。例如，设 S 是一个集合其成员为互不相交的有穷实数集合，则我们可以在每个 X ∈ S 中选择（choose）一个最小的数。于是构成一个与每个 X ∈ S 恰有一个相同元素的集合。非自明的是我们能否每次都可以做出一种选择，同时对于无穷多的集合 X ，无论这些抽象的集合是什么。选择公理，它假定存在一个集合（选择集合（the choice set））而没有给出具体的说明来如何构造这样一个集合，与所有那些阐明集合的某种构造原则的其他公理相比性质是不同的。
选择公理的一个有趣应用是巴拿赫—塔尔斯基悖论（Banach-Tarski Paradox），它表明单位球可分成有穷多个互不相交的集合，然后又能重新排列成两个单位球。当我们一定要使抽象的集合具体化为物理世界所存在的某种事物时这当然算一个悖论。用于巴拿赫—塔尔斯基悖论的集合并非物理对象，尽管由数学公理（包括选择公理）可证明它们的存在，在这种意义上它们也确实存在。
一个合理的问题是，选择公理是否协调，即由其他公理是否无法反驳它。（注意与非欧几何的相似性。）这个问题得到了哥德尔的回答，且最终选择公理的作用被完全澄清。参见第7节 独立性证明 。

8、大基数
1930年，在致力于测度问题时，斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）发现了一个重要的现象：假定关于“小集合”（如实数集合）的某一数学语句为真，则人们可以证明存在极其巨大（不可达（inaccessible））的集合。这种现象在丹娜·斯科特（Dana Scott）著名的结果(1961) 即 L 中不存在可测基数之后日益显现。突然间，大基数如不可达，可测（measurable），超紧（supercompact）等成为集合论家关注的主要焦点。出现了无穷集合性质的分层结构，大基数理论，似乎是集合理论的结构基础。大基数公理（也称为强无穷（strong infinity）公理）构成分层结构由此一个较强的公理不仅蕴含一个较弱的公理而且也证实它的协调性。迄今有很多基于大基数分层的能精确计算协调性强度的数学语句的例子。（例如，奇异基数问题的否定解答相应于可测性与超紧性间的大基数公理。）
自罗纳德·詹森的先驱性工作以来，大基数理论已与内模型理论紧密相连。结果表明对于层次结构较低级别的每个大基数公理人们都能找到一个合适的内模型。这些内模型通过采用描述集合论的方法有助于理解整个理论的结构。

9、描述集合论
描述集合论的起源可追溯至二十世纪初期享利·勒贝格（Henri Lebesgue）积分的理论。研究实数的波莱尔集合导致了射影（projective）集的理论，及更一般地，实数可定义集合的理论。随着哥德尔的工作，发现描述集合论许多自然的问题在公理集合论中是不可判定的。由于继柯恩创造力迫方法以后独立性结果的激增这进一步获得证实。
现代描述集合论主要围绕着使用无穷博弈的强有力方法展开。以决定性（Determinateness）而闻名的描述集合论分支，由马丁（D. A. Martin），罗伯特·索罗维（Robert Solovay）和其他人开发，与除此之外的递归论和大基数理论的方法一起，在描述可定义集合的结构方面已经非常成功。更重要的是，描述集合论为大基数公理提供了有力的证据。

参考文献
G.康托，选集，柏林：斯普林格出版社，1932。
S.乌拉姆，关于一般集合论上的测度论，数学基础，1930，16: 140–150。
K.哥德尔，选择公理和广义连续统假设的协调性，国家科学院学报（美国），1938，24: 556–557。
D.斯科特，可测基数和可构成集合。波兰科学院公报，1961，9: 521–524。
P.科恩，集合论与连续统假设，纽约：本杰明，1966。
R.詹森，可构成分层的精细结构，数理逻辑年刊，1972，4: 229–308。
D.马丁和J.斯蒂尔，射影决定性的证明，美国数学学会杂志，1989，2: 71–125。
K.赫尔巴切克和T.耶赫，集合论入门，纽约：马塞尔戴克公司，1999。

其他网络资源
集合论（Set Theory） 由吉恩·拉尔森（Jean Larson）维护（佛罗里达大学数学系）
J.J.奥康纳（J. J. O*Connor）和E.F.罗伯逊（E.F. Robertson）的论文，MacTutor 数学史档案，（圣安德鲁斯大学数学系）：
集合论的历史（A History of Set Theory）
格奥尔格·费迪南德·路德维格·菲利普·康托（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor）
保罗·约瑟夫·柯恩（Paul Joseph Cohen）
库尔特·哥德尔（Kurt G\"odel）
恩斯特·弗里德里希·费迪南德·策梅罗（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）
伯纳德·普拉西杜斯·约翰·内波穆克·波尔查诺（Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano）
选择公理的主页（A Homepage for the Axiom of Choice），由埃里克·舍希特尔（Eric Schechter）维护（范德比尔特大学数学系）
哥德尔不完全性定理（ G\"odel*s Incompleteness Theorem），由戴尔·迈尔斯（Dale Myers）维护（夏威夷大学数学系）

相关条目
戈特洛布·弗雷格：逻辑，公理和算术基础（Frege, Gottlob: logic, theorem, and foundations for arithmetic）
经典逻辑（Logic: classical）
罗素悖论（Russell*s paradox）
集合论：早期的发展（set theory: early development）

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在本书中，我们想要把集合论发展成为别的数学学科的一个基础。因此，我们并不涉及人或分子的集合，而只关注数学对象如数、空间的点、函数或集合的集合。实际上，前三个概念在集合论中可定义为集合及其特定的属性，且我们将在后面的章节这么做。因此，从现在起我们所关注的唯一对象就是集合。为了说明起见，我们讨论数或点的集合甚至是在这些概念被确切地定义之前。然而，我们这样做只是在示例、习题和问题中，而并不在主体的理论中。数学对象的集合有，例如：
1.1 示例
（a）324 的所有素因子的集合。
（b）被 0 整除的所有数的集合。
（c）区间 [0, 1] 上所有连续实值函数的集合。
（d）主轴为 5 且偏心率为 3 的所有椭圆的集合。
（e）其元素为小于 20 的自然数的所有集合的集合
这些示例与很多其他类似例子的研究表明，集合及其数学家的工作相对是简单的。它们包括自然数与它的各种子集（如所有素数的集合）以及自然数的序对、三元组与更一般的 n 元组的集合。 而实数可以定义为有理数的集合或序列。数学分析处理实数的集合和实数的函数（实数的有序对的集合），在某些研究中，函数的集合甚或函数集合的集合都被考虑。但一个数学家的工作很少遇到比这更为复杂的对象。或许，远离“日常经验”的“集合”的盲目使用可能会导致矛盾也就不足为奇了。
例如考虑所有那些不是自身元素的集合所构成的集合 R。换言之，R 是所有 x x（∈ 读作“属于”，读作“不属于”）的集合 x 的集合。现在问是否 R R。假如 R ∈ R，那么它不是其自身的一个元素（因为 R 没有元素属于它自己），所以 R R，矛盾。因此，必定有 R R。然而，若 R 为一个不是其自身元素的集合，则所有这样的集合都属于 R。我们又有 R ∈R，矛盾。
这个论证可简要的总结如下：定义 R 为：x ∈ R 当且仅当 x x 。现在考虑 x = R；由 R 的定义，R ∈ R 当且仅当 R R；矛盾。
对这个论证（归于伯特兰德·罗素）的一些意见可能是有用的。首先，存在集合的集合并没有什么毛病。元素也为集合的很多集合在数学中可以合法地使用 — 参见示例1.1 — 并且不会导致矛盾。其次，给出 R 的元素的一个例子也是容易的；例如，假定它是所有自然数的一个集合，那末x x（所有自然数的集合不是自然数）所以 x ∈ R。第三，给出不属于 R 的例子却是不容易的，但这无关紧要。前面的论证总会导致一个矛盾，即使是不存在自己属于自己的集合。（一个看似合理的自己是自己元素的集合将是 “所有集合的集合” V；显然 V ∈ V。然而，“所有集合的集合”以更微妙的方式导致自身的矛盾 — 参见习题 3.3 和 3.6。）

这个矛盾如何解决？我们假定将 R 定义为不是其自身元素的所有集合的集合，而作为定义 R的一个直接后果就是导出一个矛盾。这只能说明没有符合定义 R 的集合。换言之，这个论证证明不存在集合其成员恰好就是不为自身元素的那些集合。包含罗素悖论和其他类似例子的经验教训就是，只定义一个集合我们并不能证明它的存在（正如定义一个麒麟我们并不能证明麒麟存在）。有一些属性是不能定义集合的；也就是说，集合中具有这些属性的所有对象不可能构成一个集合。这种观察留给集合论学家一个确定定义集合属性的任务。不幸的是，众所周知没有办法做到这一点，逻辑的一些结果（特别是由库尔特·哥德尔所发现的所谓不完全性定理）似乎表明，令人满意的解答甚至是不可能的。
因此，我们尝试一个不那么崇高的目标。我们系统地阐述一些数学家所用集合的相对简单的性质作为公理，然后审慎地核验所有从公理逻辑地推出的定理。由于公理显然为真而定理可由公理逻辑地推出，所以定理也是真的（未必是显然地）。我们最终得到一大批关于集合的真理，尤其是其中包括，自然数、有理数和实数、函数、序数等等的基本性质，而就目前所知，不会有矛盾。经验已经表明，在这个公理系统中，几乎所有当代数学所用的概念都可以被定义，它们的性质也可以被导出。在这个意义上，公理集合论成为数学其它分支令人满意的基础。
另一方面，我们并不认为每个关于集合的真理都能从我们所介绍的公理导出。从这个意义上来说，公理系统是不完备的，在最后一章，我们将回到完备性问题的讨论上。

在下面的例子中，我们列出了一些有关同一性的明显事实：
2.1 示例
（a）X = X。( X 与 X 相同。)
（b）如果 X = Y，则 Y = X。（如果 X 与 Y 相同，则 Y 与 X 相同。）
（c）如果 X = Y 且 Y = Z，则 X = Z。（如果 X 与 Y 相同且 Y 与 Z 相同，则 X 与 Z 相同。）
（d）如果 X = Y 且 X ∈ Z，则 Y ∈ Z。（如果 X 与 Y 相同且 X 属于 Z ，则 Y 属于 Z。）
（e）如果 X = Y 且 Z ∈ X，则 Z ∈Y。（如果 X 与 Y 相同且 Z 属于 X，则 Z 属于 Z。）
由简单的性质构造更为复杂的性质可以使用逻辑联结词。它们表示像“非…”，“…与…”，“如果…，则…”与“…当且仅当…”。
2.2 示例
(a) “ X ∈Y 或 Y ∈X ” 是 X 和 Y 的一种性质。
(b) “ 非 X ∈Y 与非 Y ∈X ” 或，用更道地的英语，“ X 不是 Y 的一个元素与 Y 不是 X 的一个元素”也是 X 和 Y 的一种性质。
(c) “如果 X = Y，则 X ∈Z 当且仅当 Y ∈Z ” 是 X，Y 和 Z 的一种性质。
(d) “ X 不是 X 的一个元素”（或：“非 X ∈X ”）是 X 的一种性质。
我们写 X Y 为“非 X ∈ Y ” 的替代，写 X ≠ Y 为“非 X = Y ” 的替代。
量词“对于所有的”（“对于每一个”）与“有”（“存在”）提供了另外的逻辑方法。数学实践说明，所有数学的事实可以用我们刚才所描述的非常有限的语言来表示，但这种语言不允许像本节开始那样的含糊表达式。
让我们看一看有关量词性质的一些例子。
2.3 示例
(a) “存在 Y ∈X ”。
(b) “对于每一个 Y ∈X，存在 Z 使得 Z ∈ X 与 Z ∈Y 。”
(c) “存在 Z 使得 Z ∈ X 与 Z ∈Y 。”
(a) 的真假显然取决于集合（记为变量）X。例如，如果 X 是 1789 年以后所有美国总统的集合，那么 (a) 是真的；如果 X 是1789 以前所有美国总统的集合，则 (a) 成为假的。[一般地，(a) 是真的只要 X 有一些元素，(a) 是假的只要 X 是空集。] 我们说 (a) 是 X 的一种性质或 (a) 取决于参数 X。类似地，(b) 是 X 的一种性质，或 (c) 是 X 和 Y 的一种性质。还要注意在 (a) 中 Y 不是一个参数，因为对于某些特定的集合 Y 而言询问 (a) 是否为真是没有意义的；我们在量词中使用字母Y 只是为了方便，还可以说，“存在 W ∈X，”或“存在 X 的一些元素。”类似地，(b) 不是 Y 或 Z 的一种性质，且 (c) 不是 Z 的一种性质。
虽然可以很容易地制定精确的规则来确定一个给定性质的参数，但我们还是依靠读者的常识，且只限于最后一个例子。
2.4 示例
(a) “ Y ∈X。”
(b) “存在 Y ∈X。”
(c) “对于每个 X，存在 Y ∈X。”
这里 (a) 是 X 和 Y 的一种性质；对于某对集合 X，Y 它是真的而对于另一对集合却会是假的。(b) 是 X（但不是 Y ）的一种性质，而 (c) 没有参数。因此，(c) 不是真的就是假的（事实上它是假的）。不拥有参数的性质（因而，不是真的就是假的）被称为语句；所有的数学定理都是（真的）语句。