在下面的例子中,我们列出了一些有关同一性的明显事实:
2.1 示例
(a)X = X。( X 与 X 相同。)
(b)如果 X = Y,则 Y = X。(如果 X 与 Y 相同,则 Y 与 X 相同。)
(c)如果 X = Y 且 Y = Z,则 X = Z。(如果 X 与 Y 相同且 Y 与 Z 相同,则 X 与 Z 相同。)
(d)如果 X = Y 且 X ∈ Z,则 Y ∈ Z。(如果 X 与 Y 相同且 X 属于 Z ,则 Y 属于 Z。)
(e)如果 X = Y 且 Z ∈ X,则 Z ∈Y。(如果 X 与 Y 相同且 Z 属于 X,则 Z 属于 Z。)
由简单的性质构造更为复杂的性质可以使用逻辑联结词。它们表示像“非…”,“…与…”,“如果…,则…”与“…当且仅当…”。
2.2 示例
(a) “ X ∈Y 或 Y ∈X ” 是 X 和 Y 的一种性质。
(b) “ 非 X ∈Y 与非 Y ∈X ” 或,用更道地的英语,“ X 不是 Y 的一个元素与 Y 不是 X 的一个元素”也是 X 和 Y 的一种性质。
(c) “如果 X = Y,则 X ∈Z 当且仅当 Y ∈Z ” 是 X,Y 和 Z 的一种性质。
(d) “ X 不是 X 的一个元素”(或:“非 X ∈X ”)是 X 的一种性质。
我们写 X
Y 为“非 X ∈ Y ” 的替代,写 X ≠ Y 为“非 X = Y ” 的替代。
量词“对于所有的”(“对于每一个”)与“有”(“存在”)提供了另外的逻辑方法。数学实践说明,所有数学的事实可以用我们刚才所描述的非常有限的语言来表示,但这种语言不允许像本节开始那样的含糊表达式。
让我们看一看有关量词性质的一些例子。
2.3 示例
(a) “存在 Y ∈X ”。
(b) “对于每一个 Y ∈X,存在 Z 使得 Z ∈ X 与 Z ∈Y 。”
(c) “存在 Z 使得 Z ∈ X 与 Z ∈Y 。”
(a) 的真假显然取决于集合(记为变量)X。例如,如果 X 是 1789 年以后所有美国总统的集合,那么 (a) 是真的;如果 X 是1789 以前所有美国总统的集合,则 (a) 成为假的。[一般地,(a) 是真的只要 X 有一些元素,(a) 是假的只要 X 是空集。] 我们说 (a) 是 X 的一种性质或 (a) 取决于参数 X。类似地,(b) 是 X 的一种性质,或 (c) 是 X 和 Y 的一种性质。还要注意在 (a) 中 Y 不是一个参数,因为对于某些特定的集合 Y 而言询问 (a) 是否为真是没有意义的;我们在量词中使用字母Y 只是为了方便,还可以说,“存在 W ∈X,”或“存在 X 的一些元素。”类似地,(b) 不是 Y 或 Z 的一种性质,且 (c) 不是 Z 的一种性质。
虽然可以很容易地制定精确的规则来确定一个给定性质的参数,但我们还是依靠读者的常识,且只限于最后一个例子。
2.4 示例
(a) “ Y ∈X。”
(b) “存在 Y ∈X。”
(c) “对于每个 X,存在 Y ∈X。”
这里 (a) 是 X 和 Y 的一种性质;对于某对集合 X,Y 它是真的而对于另一对集合却会是假的。(b) 是 X(但不是 Y )的一种性质,而 (c) 没有参数。因此,(c) 不是真的就是假的(事实上它是假的)。不拥有参数的性质(因而,不是真的就是假的)被称为语句;所有的数学定理都是(真的)语句。