十、多普勒频移
我们常接触的波有机械波(如声波、水波等)和电磁波(包括无线电波、红外线、可见光、紫外线、x射线、γ射线)。波,少不了波源和传播介质,研究波还要有个观察者用眼、耳或其它工具来接收波。波有三个要素:波长、频率、波速。两个相邻的波的同一部位之间的距离(如相邻两个波的波峰与波峰之间的距离)叫波长,一般用λ表示;每秒钟发出或接收到的波的个数叫频率,一般用f表示;波移动的速度叫波速,机械波速一般用V或v表示,光速用c表示。波的三要素之间的关系是v=fλ。一般情况下,在同一介质中相同性质的波的速度是一定的,所以频率与波长成反比。
当波源与观察者相对静止时,在相同的时间内,波源发出多少个波,观察者就接收到多少个波,所以,波源的频率与接收到的频率是一致的。当波源与观察者有相对运动时,观察者接收到的频率与波源的频率不一致(特定状态下会一致),这个现象叫多普勒频移。在可见光中,红光的频率最低,紫光的频率最高,其次是蓝光,因为人眼的光感受器有红、绿、蓝三种,紫光可以同时被红、蓝感受器感受到,所以对人眼来说,红光与蓝光混合的效果与紫光相同,所以,当接收频率比波源频率低时,我们称之为红移,当接收频率比波源频率高时,我们称之为蓝移而不是紫移。
机械波都依靠有形的介质传播(空气虽然看不见摸不着,但仍由分子组成,按现代科学理论算,也是实实在在的介质),相对介质各向速度相等;光不依赖有形的介质传播,但有形的介质可以影响光的传播,真空中光在任何惯性系中各向速度相等。机械波一般速度较低(即使声波在金刚石中速度可以达到每秒十来公里,相对于光速的每秒30万公里还是太低了),虽然理论上说,即使低速运动也有钟慢效应,不考虑钟慢效应时计算的结果是近似值,但低速下因为钟慢效应太小,这个近似值与精确值相差极小,所以,我们就直接用这个近似值而不是非得使用理论上的精确值。因为相对论涉及钟慢尺缩,所以相对论的多普勒频移比经典力学的多普勒频移更复杂,但也有很大的联系,所以,在这里,我们先讨论经典力学的多普勒频移。
根据波源和观察者的运动方式,可以分为波源运动、观察者运动、两者都运动,根据运动方向,可以分为正向运动(运动方向与波源和观察者的连线一致)、斜向运动(运动方向与波源和观察者的连线不一致)、横向运动(斜向运动到某个特定位置时,波源和观察者的连线与运动方向垂直)。为了描述方便,下面的讨论中,波源与观察者互相靠近时速度v取正值,波源与观察者互相远离时速度v取负值。
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先看看观察者正向运动的情形。假定波源频率为f,波速为V,波长为λ,观察者以速度v向波源靠近(见图19),观察者接收频率为f'。在t时间段内,波源发出Vt/λ个波,观察者不但要接收波源在t时间段发出的Vt/λ个波,还要因为运动而多接收vt/λ个波,一共接收(V+v)t/λ个波。因为λ=V/f,所以,在t时间段内,观察者一共接收f(V+v)t/V个波,也就是接收频率f'=f(V+v)t/V/t=f(V+v)/V。
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再看看波源正向运动的情形。假定波源频率为f,波速为V,波长为λ,波源以速度v向观察者靠近(见图20),观察者接收频率为f'。在t时间内,波源发出Vt/λ个波,然而,由于波源的运动,这Vt/λ个波被压缩在Vt-vt的距离内,所以,波长λ变为λ'=λ(V-v)/V,对介质和静止的观察者来说,频率变为f'=V/λ'=V/(λ(V-v)/V)=fV/(V-v)。
若波源和观察者都做正向运动,则可先考虑波源运动,得到相对介质的频率,再考虑观察者运动,即可计算出结果。若观察者远离波源的速度大于波速,则f'<0,这表示观察者追上了波源之前发出的波。若波源的运动速度大于波速,也能得到f'<0,此时表示只有波源经过观察者之后,观察者才能接收到波源之前发出的朝向观察者传播的波。
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当观察者和波源的连线与观察者运动方向不一致时(见图21),观察者运动到不同位置时,情况不一样。图中当观察者运动到B位置时,正好是波源与观察者的连线垂直于运动方向,离波源的最近点,在这一瞬间观察者既不是靠近也不是远离波源,观察者接收到的波的频率f'与波源发出的波的频率f是一致的。当观察者运动到A位置和C位置时,可以把运动速度v按矢量分解为一个沿连线靠近(或远离)的分速度v1和一个垂直连线的分速度v2,其中垂直连线的分速度v2不会引起频移,而靠近或远离的分速度v1会引起频移,这个频移与以速度v1正向运动的频移等效。
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当观察者和波源的连线与波源运动方向不一致时(见图22),我们首先要考察某时刻观察者接收的波是波源在什么位置发出的,比如图中波源正好到达连线与运动方向垂直的位置时,若接收的波是时间t之前发出的,则波源发出波的位置A到观察者距离为Vt,波源发出波的位置A到现在波源位置B的距离为vt。波源在位置A时的速度v可以分解为沿连线方向的分速度v1和垂直连线方向的分速度v2,其中分速度v2不引起频移,分速度v1引起的频移等效为以速度v1靠近的频移。根据相似三角形的定理,v1/v=vt/Vt=v/V,v1=v^2/V,所以,此时观察者接收到的频率f'=fV/(V-v1)=fV/(V-v^2/V)=fV^2/(V^2-v^2)。如果v>V,f'<0,在此条件下,当波源到达连线与运动方向垂直的位置时,观察者尚未接收到波,当然,这个波源到达连线与运动方向垂直的位置时观察者接收到的频率的公式也失去意义。
狭义相对论一般用于高速运动,所以,在狭义相对论下一般只讨论光的多普勒频移。光源运动、观察者运动的多普勒频移与机械波的多普勒频移相似,不同之处除了用光速c取代波速V之外,还要考虑运动的钟变慢。当观察者运动时,观察者的钟变慢到1/γ,以观察者的钟1秒来计接收到的波的个数,实际上计的是γ秒的波的个数,所以观察者测得的频率是实际频率的γ倍,于是正向多普勒频移和横向(光源与观察者的连线垂直于运动方向时)多普勒频移分别为相应的机械波多普勒频移乘以γ,即
正向为f'=γf(c+v)/c
横向为f'=γf
当光源运动时,光源的钟变慢到1/γ,相应的,对观察者来说,光源的频率也要下降为f/γ,于是正向多普勒频移和横向多普勒频移分别为相应的机械波多普勒频移除以γ,即
正向为f'=fc/(c-v)/γ=fc(c+v)/((c-v)(c+v))/γ=f(c+v)c^2/(c^2-v^2)/c/γ=f(c+v)γ^2/c/γ=γf(c+v)/c
横向为f'=fc^2/(c^2-v^2)/γ=fγ^2/γ=γf
由此可见,在狭义相对论中,在没有其它有形介质的影响的情况下,只要是相同的相对运动,无论以光源为参照还是以观察者为参照,多普勒频移的量是一样的。即使再换其它参照系,使光源和观察者都运动,多普勒频移的量也会是一样的。