证明的目的并非仅仅在于使一个句子的真摆脱各种怀疑，而且在于提供关于句子的真之间相互依赖性的认识。
——弗雷格《算术基础》1998 P12
先验和后验、综合和分析的那些区别与判断的内容无关，而与做出判断的根据有关。
——弗雷格《算术基础》1998 P12

如果人们实际认识到普遍的真，人们也就必须承认，有这样的初始定律，因为从纯个别事实得不出任何东西，除非基于定律。甚至归纳也依据下面这个普遍原理，即归纳方法可以确立一条定律的真，或者说，可以论证它的概率。对于否认这一点的人来说，归纳不过是一种心理现象，一种方式：人们达到相信一个句子的真，而又无需为这种信念提出任何根据。
——弗雷格《算术基础》1998 P13

我们这种情况可能最容易与下面的情况进行比较。在一个钻孔中人们注意到，气温随着深度有规律地增长；至此人们遇到了极不相同的岩层。在这种条件下，仅从在这个钻孔中所作的观察，显然推论不出任何与更深岩层的性质有关的东西，而且气温是不是依然会继续这样有规律地延伸分布，也一定无法确定。尽管至此观察到的东西以及处于更深层的东西下属于“继续打钻将遇到的东西”这个概念；但是在这里它们不会有什么用处。
——弗雷格《算术基础》1998 P25

经验句子对于物理的或心理的现实是有效的。几何学的真命题支配着空间直观东西的领域，尽管现在它是想象力的实现或产物。传说和诗歌中有一些最放纵狂热的想象，最大胆不羁的创作，它们使动物说话，使日月星辰静止不动，使石头变成人，并且使人变成树，它们还告诉人们，人如何抓住自己的头发把自己拽出泥沼。然而只要它们是直观的，就依然受到几何学公理的约束。只有概念思维能够以某种方式摆脱这些公理，譬如在假定一种四维空间或正曲率量的空间的时候。这样的考虑不是完全无用的；但是它们完全抛弃直觉基础。如果在这里也借助直觉，那么这依然始终是欧几里得空间的直觉，即那唯一的、我们有某种关于它的形象的空间的直觉。然而在这种情况下，这种直觉不是被当作像它实际的那样，而是被当作象征其它某种东西；例如，人们把直观上看到的弯曲的东西叫作直的或平的。对于概念思维而言，人们可以总是假定与这条或那条几何公理相对立的东西，而在根据这些与直觉相悖的假定进行推理时又不陷入自相矛盾。这种可能性表明，几何公理相互独立，并且不依赖逻辑的初始规律，因而是综合的。对于有关数的科学的原理可以这样说吗？如果人们要否认这些原理中的一条，一切岂不会乱套了吗？这样一来，还能进行思维吗？算术基础不是比所有经验科学的基础，甚至比几何学基础更深吗？算术的真支配着可计数的领域。这一领域是最广博的；因为它不仅包括现实的东西，不仅包括直观的东西，而且还包括一切可被思考的东西。那么，数的规律与思维规律难道不应该联系得最密切吗？
——弗雷格《算术基础》1998 P29

……莱布尼兹喜欢把所有真命题都看作是可证明的：“每个真命题都有其从术语概念得出的先验的证明，即使我们并非总能够达到这种分析”。
——弗雷格《算术基础》1998 P30
任何使用词或数学符号的人都要求它们意谓一些东西，谁也不会期待从空洞的符号产生某种有意义的东西。但是一位数学家却不用把他的符号理解为感官上可感觉的、可直观感受的东西，就能进行很长的计算。因此，这些符号还不是没有意义的；人们仍然要把它们的内容和它们本身区别开，尽管也许只有通过符号才可以把握内容。
——弗雷格《算术基础》1998 P31

尽管人们非常贬低演绎，但是依然不能否认，由归纳建立的规律是不够的。从这些规律必然推导出一些新句子，而其中任何一条规律本身却不包含这些句子。这些句子已经以某种方式隐藏在所有规律的整体之中，但这并没有免除人们由此揭示它们和确立它们自身性质的工作。这样就呈现出下面的可能性。人们可以不把一个推理串与一个事实直接联系起来，而是对事实不予考虑，把其内容作为条件加以接纳。当人们以这种方式把一个思想序列中的所有事实代之以条件时，就得到这样一种形式的结果：一种结果依赖于一系列条件。这种真就会只通过思维，或者用密尔的话说，通过对语言的熟练驾驭而建立起来。数的规律具有这种性质，这不是不可能的。
——弗雷格《算术基础》1998 P32

那么1000这种性质究竟属于谁呢？看上去，这几乎既不属于个别的叶子，也不属于叶子整体；也许它实际上根本就不属于外界事物？如果我给某个人一块石头并说：确定它的重量，那么我以此就把他要研究的全部对象给予他了。但是如果我把一叠牌放到他手里并说：确定它们的数，那么他就不知道，我想知道的是这些牌的张数，还是一副完整的牌的数，还是譬如玩斯卡特的牌点数。我把这叠牌放到他手里，以此还没有把他研究的对象全给他；我必须补充一个词：张、副或牌点。
——弗雷格《算术基础》1998 P36
因此，颜色和数之间的一种本质区别在于，一个平面上的蓝颜色不依赖于我们的任意理解。它是一种反射某种光线，或多或少吸收其它一些光线的能力，我们的理解丝毫无法改变它。相反，我不能说，1或100或其他任何一个数本身属于这叠牌，至多只能说，它们根据我们任意的理解方式属于这叠牌；这样我也就不能说，我们可以简单地将数作为谓词赋予它。我们要称为完整一副牌的，显然是一种任意的规定，这叠牌与此无关。但是当我们由此出发考察这叠牌时，我们也许发现，我们可以称它为两副完整的牌。谁若是不知道什么叫作一副完整的牌，谁大概就会从这叠牌发现任何一个别的数，却恰恰不是二。
——弗雷格《算术基础》1998 P37

在没有感觉的东西身上出现按其本性是有感觉的东西，这是荒唐的事情。当我们看到一块蓝色平面时，我们有一种相应于“蓝色的”这个词的独特印象；而当另一块蓝色平面映入我们眼帘时，我们重新认出这种印象。如果我们要假定，在看到一个三角形时，某种有感觉的东西会以同样的方式相应于“三”这个词，那么我们必然会在三个概念上也重新发现这种情况；在某种没有感觉的东西身上就会有某种有感觉的东西。也许可以承认，相应于“三角形的”这个词有一种可感觉的印象，但是这里必须把这个词看作一个整体。其中的三，我们不是直接看到的；相反，我们看到某种能够与精神活动联系在一起的东西，这种精神活动导致一个其中出现了这个数的判断。那么我们凭什么感觉譬如亚里士多德建立的三段论的格的数呢？譬如以眼睛吗？我们至多看到表达这些三段论的格的符号，而没看到这些三段论的格本身。如果它们本身依然是无法看到的，那么我们如何能够看到它们的数呢？但是也许人们认为看到符号就足够了；符号的数与三段论的格的数是相等的。那么这是从哪里知道的呢？为此人们必须已经以其它方式真正确定了三段论的格的数。或者，“三段论的格的数是四”这个句子仅仅是“三段论的格的符号数是四”的另一种表达吗？不！假如符号的性质没有同样表现出符号表达之物的性质，就不会表达出任何有关符号的东西，谁也就别想知道有关符号的任何东西。由于相同的东西可以没有逻辑错误地以不同的符号表示，因此符号的数与符号表达之物的数甚至不必吻合。
——弗雷格《算术基础》1998 P39

对做出一个关于数的判断之前发生的内在过程进行这样一种描述，即使再合适，也绝不能代替对概念的真正规定。这种描述绝不能被用来证明算术句子；我们从它无法了解数的任何性质。因为正像数譬如说不是北海一样，数也同样不是心理学对象或心理过程的结果。我们想从地球上总水面中划分出哪一部分并命名为“北海”，依赖于我们的任意抉择，并不妨碍北海的客观性。这绝不是要以心理学的方式研究这片海域的理由。同样，数也是某种客观的东西。如果人们说“北海有10000平方里大”，那么用“北海”和“10000”都不是意谓自己内心的一种状况或过程，而是断定某种与我们的表象之类的东西无关的完全客观的东西。如果我们譬如以后想对北海的水域做出某种不同的划分或把“10000”理解为某种不同的东西，那么前一次正确的那个内容也不会变成错误的；而是这样的情况：一个假内容也许悄悄取代了一个真内容，但是由此却绝不会消除真内容的真。
——弗雷格《算术基础》1998 P41
植物学家在说出一朵花的花瓣的数时，就像在说出它们的颜色时一样，都要说出一些事实。二者同样不依赖于我们的任意性。因此数和颜色之间有某种相似性；但是这种相似性并不在于可以通过感官在外界事物上感觉到它们，而在于二者都是客观的。
——弗雷格《算术基础》1998 P42
我把客观的东西与可触摸的东西、空间的东西或现实的东西区别开。地轴、太阳系的质心是客观的，但是我不想把它们像地球本身那样称为现实的。人们常常把赤道叫作一条想到的线，但是若把它叫作一条臆想的线就会是错误的；它不是通过思维而形成，即不是一种心灵过程的结果，而仅仅是通过思维被认识到，被把握的。如果被认识的过程是一种形成过程，那么关于赤道，我们在这种所谓的形成过程之前的任何时候都不会说出任何确切的东西。
——弗雷格《算术基础》1998 P42

根据康德的观点，空间属于现象。有可能，空间在其他理性动物面前表现得与在我们面前完全不同。确实，我们甚至不能知道，空间在此人面前与在彼人面前表现得是否一样；因为我们不能把此人的空间直觉与彼人的空间直觉摆放在一起加以比较。但是这里仍然含有某种客观的东西；所有人都承认相同的几何公理，尽管只有自己去做，而且若想认识世界，就必须自己去做。这里，客观的东西是合乎规律的东西，概念的东西，可判断的东西，能够用词语表达的东西。纯直觉的东西不是可传达的。为了说明这一点，让我们假定两个理性动物，对于他们，只有投射的性质和关系是可直观感受的：一条直线上有三个点，一个平面上有四个点，等等；可能对一方表现为平面的东西，另一方却直观感受为点，并且反之亦然。在一方看来是由几个点连成的线的东西，可能对另一方是几个平面相交的边，如此等等，而且总是这样双重对应的。在这种情况下，大概他们能很好地相互理解，却绝不会发现他们直观感受上的差异，因为在射影几何学中，每个定理都有另一个双重对立的定理；因为在审美鉴赏方面的分歧不会成为可靠的证据。关于所有几何学定理，他们也许会完全一致；只是他们将根据自己的直觉对这些词做出不同的翻译。譬如一方把这种直觉与“点”这个词联系起来，另一方把那种直觉与“点”这个词联系起来。因此人们总还能够说，这个词对于他们意谓某种客观的东西；只是不能把这种意谓理解为他们直觉的特殊的东西。而且在这种意义上地轴也是客观的。
——弗雷格《算术基础》1998 P42

在“白的”这个词，人们一般想到某种感觉，这当然是完全主观的；但是我觉得，日常的语言用法经常表现出一种客观的意义。当人们称雪为白的时，人们是要表达出一种客观性质，这种性质是人们在一般的日光下借助某种感觉认识到的。如果雪在有颜色的照明下，那么在判断时就要把这种情况考虑在内。人们也许会说：“现在它看上去是红的，但它是白的。甚至色盲也可以谈论红的和绿的，尽管他在感觉上区别不出这些颜色。他认识到这种区别是因为别人做出这种区别，或者也许是通过一种物理实验。因此颜色词常常不表示我们的主观感觉，我们无法知道这种感觉与另一个人的感觉是一致的（因为很显然，相同的命名根本保证不了这种一致），相反，颜色词表示一种客观性质。因此我把客观性理解为一种不依赖于我们的感觉、直觉和表象，不依赖于从对先前感觉的记忆勾画内心图像的性质，而不是理解为一种不依赖于理性的性质。因为回答不依赖于理性的东西是什么这个问题，等于是不经判断而下判断，不弄湿皮大衣而洗皮大衣。
——弗雷格《算术基础》1998 P43

主观意义的表象是心理学联想规律与之有关的东西；它具有可感觉的、形象的性质。客观意义的表象属于逻辑，而且本质上是不可感觉的，尽管这个意谓一种客观表象的词也常常带有一种不是其意谓的主观表象。主观表象在不同的人常常可以得到不同的证明，而客观表象对所有人都是相同的。人们可以把客观表象分为对象和概念。为了避免混淆，我将只在主观意义上使用“表象”一词。由于康德把这两种意义与这个词结合在一起，他赋与他的学说一层非常主观的、唯心主义的色彩，使人们很难认识他的真正观点。这里做出的区别与心理学和逻辑之间的区别是同样有理由的。如果人们总是能够极其严格地把握它们之间的相互区别就好了！
——弗雷格《算术基础》1998 P44
如果二是一个表象，那么它首先只会是我的表象。另一个人的二的表象已经是另一个不同的表象了。这样我们也许会有几百万个二。人们必须说：我的二，你的二，一个二，所有二。如果人们接受潜在的或无意识的表象，那么人们也会有无意识的二，而这些二以后又会变成有意识的。随着新人的成长，总会形成新的二，谁知道它们会不会用不了一千年就会发生变化，以致2×2=5呢？
——弗雷格《算术基础》1998 P44

我们看到，进一步发挥数是表象这样一种想法会导致什么奇异的后果。而且我们达到以下结论：数既不像密尔的小石子堆和姜汁糕点那样是空间的和物理的，也不像表象那样是主观的，而是不可感觉的和客观的。客观性的基础绝不在作为我们心灵作用的完全主观的感觉印象之中。在我看来，客观性的基础只能在理性之中。
如果最严格的科学竟应该依据无把握的、尚在摸索中的心理学，这将是令人奇怪的。
——弗雷格《算术基础》1998 P45

施罗德说：“每一个可数的东西都被称为（一个）单位。”问题是，为什么要先使这些东西置于单位这个概念之下，而不是简单地解释说数是事物的集合呢，这又会使我们回到前面的观点。当人们根据语言形式把“一”看作形容词，并像理解“聪明人”那样理解“一个城市”时，人们可能是想首先把事物称为单位，从中找到更进一步的确定。在这种情况下，一个单位就会是一个对象，这个对象会带有“一”这种性质，而且它与“一”的关系就类似于“一个聪明人”与“聪明的”这个形容词的关系。上面已经提出一些理由反对数是事物的一种性质，对此这里还要特别补充几点。首先引人注意的是，每个事物都会有这种性质。这样就会令人无法理解，究竟为什么还要给一个事物明确地附加这种性质。仅仅由于这种可能性，即某种东西不是聪明的，梭伦是聪明的这个断定才获得一种意义。当一个概念的外延增加时，它的内涵就减少；如果它的外延包罗万象，那么它的内涵必然会完全消失。很难想象，语言如何能够创造出一个对于进一步确定一个对象根本就不会有用的形容词来。
——弗雷格《算术基础》1998 P47