前段时间无聊的时候开了个脑洞，做了一个小小的抽签器。现在又在开吧剧了，正好放假有空写帖子，就把这个关于抽签器的脑洞写一下好了。水平有限，欢迎大家多多批评指正。

一、均匀随机的局限性
在一般的吧剧抽签器中，数据是怎么随机的呢？可能用的最多的就是excel自带的randbetween函数，这个函数很好用，比如说单元格内输入公式=randbetween(70,90)，那么单元格内的结果就会随机到从70到90的21个整数，按F9就能刷新。但是，学过概率论的都知道，这种离散的随机方法属于“均匀随机”，它只能设定随机数据的上下限，但并不能改变随机数的分布。也就是说，抽到低数据、中数据和高数据的可能性是一样的。但是我们知道，在一个追求完美的制作者的角度，其实更希望随机数不是均匀的，而是在划定的范围内让随机到“极端值”的可能性更小些，让随机到“中庸值”的可能性更大些，这样才更能体现出模板设定的合理性。一个反例就是：对于武力数据，大将职业的随机范围在65到84之间，猛将职业的随机范围在75到94之间。那么大将与猛将随机到75-84这一区段的可能性都是50%，相乘就是25%，在这四分之一的概率内（对应到统计中就是约四分之一的签），大将与猛将的武力随机方案没有任何区别，因为都是75-84的均匀随机。这对于不同职业的选择是不太公平的，一定程度上消解了职业之间的差异性。

另一个层面上，从设计者的角度考虑，如果选择了“大将”职业，按照正常的思路，一般都是在脑海中先浮现出“大将”所对应的大致数据范围，例如统率70-90，那么设计者当然更希望随机到80附近的可能性更大。超出这个范围的有没有可能？如果考虑到“有限的真实感”这一原则，好像大将随机到65或者更低一点也还说得过去，就相当于按照大将培养但是却不成才的少数情况。更高也可以，比如说92、93，就相当于奇才或天赋那种类型。然而，按照randbetween规则，如果把下限设定为60，上限设定为95，那么均值或者说期望就变成了77.5，偏离了设计这一职业的初衷。可见如果仅仅用这种简单的随机方案，是难以“鱼与熊掌兼得”的。
那么，有没有一种办法让不同职业/模板的随机差异更明显一些，让每个模板的随机方案设定更有背景感、代入感一些，同时又不影响上下限设定？其实只要把“均匀随机”改成“不均匀随机”就行了。可喜的是，利用Excel公式就可以实现一些简单的不均匀随机规则，让中段数据更集中、随机概率更高，边缘数据的随机概率更小。更可喜的是，这种规则学起来相当简单。

二、简单的不均匀随机方案（如果对公式不感兴趣可以跳过）
Excel公式里最为常用的一个，不是sum，不是count，也不是vlookup，而是if。这个简单的条件分支判断为实现各种酷炫的操作提供了可能。就以随机数为例，如果想要不均匀随机，可以采用下面的方案：
1.在单元格A1内输入公式=randbetween(1,10)，产生分段随机数；
2.在单元格B1内输入公式：
=if(A1<=2,randbetween(60,74),
if(A1<=8,randbetween(75,84),
randbetween(85,94)))
（这里提一个小tip，Excel输入公式是支持换行的，写长公式的时候更方便些）
上面B1单元格内的这个公式在if内嵌套了一个if判断，相当于根据A1单元格的随机数产生了三种随机结果：
当A1随机数为1-2时，B1内随机到60-74的15个数字;
当A1随机数为3-8时，B1内随机到75-84的20个数字;
当A1随机数为9-10时，B1内随机到85-94的15个数字。
当然B1是最终随机结果，A1只是中间数据。换言之：随机数据分布到60-74的概率为20%，分布到75-84的概率为60%，分布到85-94的概率为20%。这样就实现了随机到中段范围数据的可能性更高，随机到边缘范围数据的可能性更低。随机到不同区段内的概率可以通过修改B1单元格内的分支条件的那几个数值来改变。如果想把概率更精细化，可以把A1里面的数值改大一些，比如说改成100；如果想要更多区段，无非就是在B1内多嵌套几个if而已。是不是很简单？
当然，除了利用if外，别的方法也能做到不均匀随机——函数映射便是其中一种。仍然举例来说：
1.在C1单元格内输入公式：=randbetween(61,90)；
2.在D1单元格内输入公式：=round(C1^2/100,0)。
即把61-90的随机数平方后除以100再取整。D1单元格内的结果在37-81的范围内，然而它并不是从37-81的均匀分布。在37-81的前一半也就是37-59，实际上这一区段的随机概率是57%，也就是具有更高的可能性随机到数值较低的数据；而且数值越低，随机概率越高。如果把平方改成立方，这一规律会更明显。
上面是平方函数的一个简单映射。当然Excel不只有平方和立方，还有开方、指数、对数等等，都可以照猫画虎弄出一个“不均匀随机”来。并且通过参数的设置，以及函数的叠加、嵌套，再加上一点点巧妙的算法，甚至可以搞出一套相当复杂的不均匀随机方案，只不过不太好把握就是了。

在抽签器中，如果设计者可以自己【绘制】概率密度分布函数，显然就可以很容易很轻松地实现想要的随机规则了。顺便，我们来看一看前面写的那些用公式设置的随机规则，它们的概率密度函数长什么样子（示意图）：

显然，它们并不如正态分布好看，也不如正态分布合理。因为正态分布长这个样子：

连续、对称、丝滑。那么问题来了，怎么样才能在Excel中做到这么好看的分布规律呢？能否把正态分布的概率密度函数引入到抽签器中呢？

四、自定义数据分布的抽签器
在引入正态分布之前，我们可以先试试看能不能在Excel中绘制自己想要的概率密度函数。当然，Excel是一个一个的单元格，不可能画出连续曲线来；不过，把这些单元格变小一点，似乎就可以用涂格子的办法来模拟出曲线效果。比如说下面这样。

好像真的可以。在小方格里输入特殊符号，例如小数点"."，再用条件格式把小方格涂绿，既能直观显示，又能用公式统计，一举两得。这样涂完以后，是不是就可以近似看作一条概率密度曲线了？（下面这个蓝线是截图的时候用鼠标画的）

既然画曲线是可能的，那么接下来，就是想想办法怎么用画的这条概率密度曲线来抽取随机数据了。其实原理也很简单，仍然用前面提到的“扔芝麻”的办法，数一数一共有多少个绿色的格子，假如有50个，就用一个均匀随机函数randbetween(1,50)，得到随机结果；假如随机到了39，然后只要从左到右数一下第39个绿色小方格所对应的横坐标就可以了。

当然了，尽管原理简单，设计起来还是要花一番工夫的。用各种各样的函数、添加辅助行辅助列、用公式设置条件格式什么的都是常规操作，这里就不再说明无聊的设计和调试过程，只展示一下画出的这条曲线怎么用。

上图是一个示例，在输入框中，可以输入单元格范围以及数据分布的上下限。单元格范围就是灰框部分，只有在这个范围的格子内打小数点，格子才会变绿；数据分布上下限则决定了刻度尺（图标上方那一行）上的数字。图中数据分布范围是70到90，很明显，现在画的这个曲线在83-84左右达到峰值，也就是说随机到这里的可能性是最大的。随机到70左右当然也有可能，不过因为左侧曲线很低，概率很小就是了。随机结果就用深绿色的竖线来显示，因为有小数，可能就会显示两条相邻的深绿色竖线了。
总的来说，相比于用公式设置随机规则的方案，直接涂格子画曲线的方法更加直观，对规则设计者也更友好。可是这个工作表的编码过程这么复杂，新手完全不会怎么办？简单的讲，不用考虑这些东西，因为这是一个轮子，或者说一个黑箱。使用的时候，只要勾勒曲线形状就可以了，并不需要去打开那些隐藏行、隐藏列，去查看里面复杂的公式；引用数据也可以直接把随机结果的那一个单元格引用过来，并且汇总到一起。如果复制出四个工作表，就可以画出5条不同的曲线，汇总以后就是一个武将的五维随机结果：

为了让五维的随机曲线设计更方便一些，还可以把五条曲线放在同一个工作表内，来定义不同类型武将五维的数据分布规律。

上面这个显然是“武将型”，五维中最容易拿到高数据的是武力，其次是统率，而后三维稍低些。但这并不意味着智力一定比武力低，仔细看上面画的曲线，智力是有可能比武力高的，只不过可能性比较小而已。甚至政治值都有可能比武力值高，只不过可能性微乎其微，毕竟作为武将培养的很少有成为文官的。除此之外，也可以定义出其他类型的人才，譬如五维都高的“英雄型”：

统武很低而魅力很高的“名媛型”：

政治最突出的“文官型”：

仅有武力突出的“猛将型”：

等等等等，各种类型的五维都可以自己定义，并且可以在汇总表中进行选择、抽签，得到当前选择类型的抽签结果——这便是【自定义数据分布】抽签器的雏形了。

五、正态分布与武将模板
现在，我们已经有了可以自定义的概率密度函数曲线，并且可以按照这条曲线所决定的分布规律来得到随机数。不过问题又来了，这样绘制的曲线，是“最佳方案”吗？虽然可以绘制出大致的中间高两头低的曲线形状，画曲线的时候多一格少一格好像也没什么所谓，但作为一个强迫症，仍然会觉得这样不够好，不够准确。另外，画曲线本身也是随心所欲，难以确定一个足够令人信服的标准。如果有一个标准化、自动化的东西，来代替人力，只要输入期望数据，就能让Excel自己把曲线画出来就好了。而这个“期望数据”，也就是我们所说的武将模板。
在模板抽签器中，一般会有一个模板武将库，里面收录了很多武将的五维信息。选择哪个模板，就意味着随机到的五维数据有更大可能性贴近这个模板。譬如，把血色周瑜的五维95/69/93/77/95收录进去，并且抽签的时候选择周瑜模板，那么随机到90/70/90/80/90的可能性显然要高于50/90/50/80/90。而这个规律利用正态分布的概率密度函数曲线，很容易实现。
当然，在画正态分布曲线之前，要先复习一下什么是正态分布。正态分布的概率密度函数长这样：

和前面一样，我们不用管这个复杂的公式，只需要看图。

在正态分布中，有两个重要的参数，一个是μ（读作miu），也叫均值；一个是σ（读作sigma），也叫标准差。上面这个图里，均值μ=80，意味着随机数据的均值是80，并且随机到80附近的可能性也最高。而标准差σ则决定了这条曲线的胖瘦，标准差越大，曲线越胖，也意味着随机结果更加分散；标准差越小，曲线越瘦，也意味着随机结果更加集中。对于正态分布，只要确定了这两个参数，曲线形状也就随之确定。如果把正态分布规则应用到模板抽签器，均值μ自然容易找，直接把模板数据作为μ即可；那么，标准差σ怎么确定呢

还记得中学的时候学过的“3σ原则”吗？对于正态分布而言，99.7%的数据会随机分布到[μ-3σ,μ+3σ]这个区间内，而区间外的几乎可以不考虑了。也就是说，如果我们希望均值是80，同时想要让武将的数据范围在80的上下15内浮动，那么就把15除以3，让标准差σ=5就可以了，这样几乎所有数据都会分布到65到95的区间。

把标准差暂定为5是比较合理的。如果模板数据是80，那么随机值取到65到95都有可能；但是边缘数据的随机概率仍旧小，从上面这个图可以看出，在65-70和90-95这两个区间，黄色面积只有很小一部分（2σ以外的只有5%）。而1σ以内即75-85的随机概率高达68%，越靠近均值80，随机到的可能性越高——这就是武将模板的意义，选择哪个武将作为模板，五维值就会贴近他，尽管仍然会有小概率偏离模板数据，但大多数情况还是会向模板靠拢。
那么接下来，仍然要研究一下如何用Excel做正态分布的随机抽签。既然已经有了概率密度函数图，那么只需要把填充小数点“.”的操作交给Excel公式就好了。还好，Excel自带函数里面有一个叫做NORMDIST的函数，它可以计算出正态分布概率密度曲线中某个点的函数值。利用这个，再加上一些归一化、整数化、比较大小等公式的设置，就能画出正态分布形状的绿色小方格来。而如果把标准差σ暂定为5，那么影响曲线形状的就只有武将模板的数据，也就是均值μ——也就是说，在模板库里选择好模板武将，数据的随机范围与分布规律就都确定好了。

同样地，不再展示公式的设计过程，我们只来看自动画图的结果。因为小数取整的关系，画的图可能并不是严格对称，不过也无伤大雅。

这里选择模板武将“青梅煮茶”，就自动生成了这个武将所对应的随机分布图，抽签的时候按F9刷新就可以了，也省去了让吧剧设计者自己涂格子的麻烦。当然，相对于通用型的“自定义数据分布”抽签器，正态分布规则的模板抽签器可以自主编辑的空间比较小，最多改一下σ，因此效率与自由度只能选择其一。

六、正态分布规则的改进
正态分布规则的抽签器有什么缺陷吗？
1.在前面的例子中，我们选取的“青梅煮茶”模板数据为70/44/42/34/88，自然没多大问题。但是如果是“风啸三国”呢？五维值91/73/94/63/73，如果把这个作为模板，标准差取5，而数据上限为100不变的话，那么图里面画出来的曲线是不全的，高数据区将被截断得很明显。

当然，即使曲线被截断了，就这么随机也不是不可以，但只有极端数据的曲线被截断而中间大部分都不受影响，略显不公。从数学的角度看，这样处理也不够丝滑连续。这是第一个问题。
2.回到武将模板的设计初衷本身，如果模板数据很高，那么在照着这个模板随机的时候，设计者是希望如何随机呢？如果单纯按照正态分布规律，那么随机到这个高数据左右两侧的概率是一样的，因为正态分布曲线是左右对称的。但是，模板数据是90的话已经很高了，设计者肯定不会希望有一半的可能性随机到比这个更高的数据，而是大概率落在低于90的区间。按正态分布规律来随机容易出现超模数据，这是第二个问题。

如何解决这两个问题？最直接的办法是把正态分布的曲线右半边直接去掉，这样随机到的数据绝对不会超过模板数据，相当于锁死上限。但是这个想法仅仅考虑了高数据区，而低数据区如果也应用这条规则，就会出现模板数据为10的时候，随机结果只可能是个位数的情况。那么有没有一种方案，让模板数据高的时候，大概率随机到低于模板的数值，模板数据低的时候，大概率随机到高于模板的数值，同时又满足丝滑要求，在模板数据中等的时候，随机到左右两侧的可能性一样呢？这句话可能有点绕，我们还是画个示意图来看一下。其实把这个需求用图形来表示，就是这样子的：

模板数据低，则更容易拿到高于模板的数据；模板数据高，则更容易拿到低于模板的数据；而且这个趋势随着模板数据的极端化而愈加明显。那么，如何设计算法来达到这个目的呢？
算法当然是有的。如果把这个不对称的曲线分成左右两半来看，每半边都可以看作是正态曲线的一半，只不过胖瘦不一样罢了。

因为曲线左右不对称，这条分界线的横坐标就不能叫均值了，我们先把它称作“中值”，便于区分。中值其实就是模板数据，对于中值比较高的曲线而言，中值左半边的σ更大些，曲线更胖些，随机概率更大些；中值右半边的σ更小些，曲线更瘦些，随机概率更小些；中值越高，不对称的程度越高。而中值低的曲线则正好相反。当中值为可抽签范围正中间时，比如说0~100的正中间即50，那么左右是对称的。（这条曲线专业一点的说法叫做左偏分布，它的偏度与中值有关。当右侧σ更大时，属于右偏分布）