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谢挽

围观百合，顺便帮顶。

百合你妹，吾辈是纯爷们，卫娘是吾辈后宫无误。

不管怎么算，最后和实验对上就行。

没明白你的问题，什么叫独立？最一般的情况下，算符本征函数构成完备系可以认为是个假设

比如，你不可能选三个算符x,x^2,x^3的共同本征函数作为函数系，尽管他们是互相对易的，因为选一个x和选三个x,x^2,x^3没有任何区别
与这个对应的算符之间的关系我就叫做“非独立”了
更精确一点的定义（我给的），大概是这样，（在互相对易的基础上）互相独立的算符，其共同本征函数比单个的本征函数减少一个自由度
大致就是这样

任何一个observable的本征函数构成一组完备基，所以没什么不可以选的，至于是否存在简并是另一个问题，所以你的问题实际上是如果找到一组对易算符使得共同本征态不再简并。一般来说，在确定一个算符的基础上，若本征态有简并就寻找下一个对易的算符，看能不能减少一些简并度，然后不断地寻找下一个对易算符直到没有任何简并，不过如何“寻找下一个能减少简并度的算符”这个问题我不知道有什么一般性的方法。然而有时候事情是显然的，比如你一楼举的两个粒子的自旋态的例子，取两个粒子各自的Sz就可以了，而总角动量平方与Sz也是一组能去除所有简并的算符，至于选哪一组取决于你想解决的问题存在什么样的对称性。


1L的那个问题
怎么看出总角动量的平方和总角动量的z分量的共同本征函数不简并？就是这个看不出来...

虽然不恰当，不过你把这个问题转换到“经典”框架下再想想或许有帮助。。。 = =

你想经典状况下如何描述一个角动量？你需要知道大小和方向对吧
那么对于一个量子系统，比如一个量子转子吧
你知道了总角动量平方等于知道了l大小，又知道了z的“投影”等于知道了方向
不知道能不能这么理解
我觉得如果用算浮的矩阵形式应该可以数学上证明吧。。

算一下就知道了。
如果你是问没算之前怎么意识到这个结果的话，这个结果不难猜，就好像你解氢原子问题的时候也有lm量子数，如果你非要一个比较由上而下的逻辑的话恐怕需要点群表示论的知识。