我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一 
个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到 
内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不 
同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶 
颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上， 
我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是 
可定向的二维紧致流型。

菲立克斯·克莱�

如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因 
瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某 
些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是： 
克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们 
一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把 
它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿 
过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。这是怎么回事 
呢？

我们用扭节来打比方。看底下这个图形，如果我们把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但 
其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己 
相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这 
样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。 
只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相 
交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空 
间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也 
不得不把它做成自身相交的模样；就好象最高明的画家，在纸上画扭 
结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃 
吹制的克莱因瓶。

莫比乌斯�

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除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的 
“８字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维 
空间中它们其实就是同一个曲面——克莱因瓶�

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