数学学习帖子记录2025年1月24日
使用书籍是《实变函数和泛函分析基础》
第三章的测度论开始的
本章节分成四个小节，其中重要的小节是前面三个小节，采用的思想方法是“内填外包”
所谓外包就是用开集去包住空间内的某个物体，外测度就是这个用最少的外包材料去包住这个物体
内填就是从内部去填充物体，它的上确界就是内测度
可测就是当内测度和外测度相等，但是这种方法比较麻烦，需要思考另外一种方法进行判断一个集合是否可测：外测度存在并且加上卡拉泰奥多里这个条件就可以判断一个集合是否可测
在确定了怎样判断一个集合可测之后，我们再来思考那些可测集最终组成了一个可测空间，全体可测集组成一个σ-代数，其中包括开集，因此包含由开集经过手续不超过有限次的交并补差运算而产生的集合被称为“博雷尔集”，博雷尔集在概率论中有着充分的应用。
注：可测空间和拓扑空间的区别，两者的聚焦点不同，测度论是说一个空间的大小（是一种量化的思想），拓扑学更多是关注一个空间的开集性质（更多的是一种空间性质，比如紧性、连通性、有界性等等）
第四小节在本科阶段不是重点内容，内容难度较大，这里只是简单讲解，说一些不可测集
1. 外测度
①一般方法是找到一列覆盖E的开区间（开集）（一定要写出来），然后写出它的体积总和μ=Σ|I_i|（其中的i为1到无穷），然后取这个体积总和的下确界就是我们要的外测度
②外测度满足的性质：
空集的外测度为零；外测度满足单调性；外测度满足次可数可加性
书上的两个例子的方法特别重要，一个是有理数的外测度；一个是区间的外测度

2. 可测集
● 这里需要注意区分：
实变函数中，次可数可加性与可数可加性区别：
①次数可加性是小于等于；
②可数可加性是等于。
● 外测度的优点是任何集合都有外测度但是它具有次可数可加性，但是缺点是不具有可数可加性，不够方便和直观。
同时我们也发现如果不可测集的一列集合，它虽然具有外测度，同时满足次可数可加性，但是却不可测，即我们如果将所有集合的外测度都视为测度，这个是做不到的，所以我们需要找到可测集，对于外测度的定义域加以限制。（这里是一个必要关系，但是不满足充分关系）
● 那么这个可测集应该如何构造呢？
首先对于某些集合的运算是封闭的；其次满足可数可加性；再次，集合族应该包含R^n
我们利用上述的构造方法来思考充要条件，首先从R^n中任取一个开集E，如果E就是我们需要的集合，那么对于任何开区间I属于集合类M，它的补集M中，同时I和E的交集、I与E的补集的交集这两者之间的并和交都属于M中，下面我们考虑可数可加性，就可以知道满足一定满足下面这个条件m*I=m*（I∩E）+m*（I∩E^c）（式子（1））
那么不满足上述条件的E就不在集合类M中
● 总结一下：对于任何一个集合E，我们怎样判断这个E是属于集合类M中的，那么只需要开区间R^n中的任何来取件满足式子（1）
由此得出引理，设E包含于R^n，对于任何满足上述条件的开区间都成立的充要条件，就是对于R^n中的任何点集T都有m*T=m*（T∩E）+m*（T∩E^c）
引理是对于上述构成过程的进一步延伸，原来区间是在二维空间中，但是现在延伸到n维空间中的点集只要满足这个条件式子（1），就可以判断E是属于集合类M的
这个充要条件的证明和前面的章节内容类似，然后需要自己会写
● 现在我们可以给出属于这个集合类M的定义了，这个定义是由卡拉泰奥多里给出的

接下来，就可以根据这个定义去推到测度L的性质了，同时需要证明它的这些性质（自己直接通过定义去推这个性质还是有些困难）
-定理1：E可测的充要条件是对于任何两个分别是E和E的补集的两个子集满足m*(A∪B)=m*(A)+m*(B)
-定理2：S可测的充要条件是S的补集也是可测的
-定理3：

证明需要自己写，证明思路就是卡拉泰奥多里定义从S_1再到S_2一个一个展开，同时由上面的两个集合可测推广到n个可测的情况也成立（即有限并成立）
-定理4：两个可测集的交以及差都是可测的，同时有限交也成立
-定理6与7实际上是进一步推广到无限交和无限并的可测情况也成立
-定理8与9实际上是满足单调递增和单调递减的可测集合，S分别为无限交（无限并）的极限，S的测度实际上等于S_n测度的极限（这里需要注意定理9的有限的条件）

3. 可测集类
上面我们知道了可测集合长什么样以及可测集合的性质是怎样的，但是这样的判别方法仍然是比较麻烦的，所以我们要总结一些常见的可测集合
● 凡外测度为零的集合都可测，零测度集的任何子集都是零测度集，零测度集的有限个和可数个零测度集之和是零测度集
● 区间I都是可测集合，I的测度为|I|
● 凡开集闭集都可测
为了能够拓广可测集类，我们定义了σ代数，即对于omega集合类满足以下三个条件，称之为σ代数，首先空集在该集合中，其次补集运算具有封闭性，再次可数并运算具有封闭性。
（R^n中可测全体所成集合类是一个σ代数，我们将该集合类用字母L表示）
同时，我们在σ代数中定义测度μ，满足以下两个条件：首先，空集的测度为0；其次，满足可数可加性
这里面定义了由Sigma生成的σ代数；博雷尔代数（这两个代数不是很理解）
定义了一列开集的可数交G_δ和一列闭集和可数并F_σ这两种集合
● 博雷尔集都是勒贝格可测集
G_δ和F_σ都是博雷尔集，都是可测的
根据上面两个集合F_σ和G_δ，我们可以得出两个重要的定理，有了这两个定理，我们只需要G_δ（或者F_σ）和全部的L零测度就可以得出一切L可测度集


● 勒贝格测度的另一个重要性质：外正规性和内正规性