极限点不在集合内称为开集，开区间（0，1）表示极限点1不在这个开区间的集合内。 比如1-1/10的n次方(n=1,2...)这个数列，极限点为1，这个数列所有点都在（0，1）内，不管这个数列如何无限延长，这个数列中所有点都比1小，但极限点1已经跳出这个开区间。 大家把0.9循环理解为这个数列最后一个点，认为0.9循环比1小一点点。实际上，无限数列没有最后一个点，只有极限。所以0.9循环也不在这个数列内，不管这个数列如何无限延长，这个数列中所有点

目前0.9循环=1的牛皮太多人吹了，很可惜，这套牛皮我能告诉你错在哪里，欢迎大家一起讨论，如果某人拿着一套所谓证明开始吹嘘两者相等，而你又找不到错误，不妨把证明发出来，我告诉你错在哪里。

亲爱的0.9吧的吧友们：大家好！ @Rectangle 为本吧吧主候选人得票最多者，共计0张真实票数，根据竞选规则，官方最终批准其成为本吧正式吧主。公示期三天。 吧主上任后，请立即填写问卷信息https://iwenjuan.baidu.com/?code=nlec1g，领取各项吧主权益。同时请严格遵守吧主协议 https://tieba.baidu.com/mo/q/newapply/rule?from=task，履行吧主义务，积极投身本吧的发展建设，也请广大吧友进行监督。如出现违规问题，请至贴吧反馈中心进行反馈或者投诉http://tieba.baidu.com/pmc

申请人：@Rectangle 申请感言：这次如果当选，我将认真管理本吧，及时处理吧内事务，打造自由合理的讨论环境。

最近系统地看了一些数学分析教材的开头部分（逻辑、集合、实数等内容），过段时间整理一下笔记发表在本贴。 预计内容：在0.999...被定义为实数的前提下，用公理得出其等于1。以及自己的一些思考。

时隔几年，终于又有吧务了 不整那一大堆的废话吧规，几句话完事 禁止违法信息、广告与不友善内容（如恶意攻击、辱骂） 除以上限制外，本吧言论自由，允许各种形式与内容的数学讨论 如有意见与建议请在楼下回复

经核实吧主1052159002 未通过普通吧主考核。违反《百度贴吧吧主制度》第八章规定http://tieba.baidu.com/tb/system.html#cnt08 ，无法在建设 0.9吧 内容上、言论导向上发挥应有的模范带头作用。故撤销其吧主管理权限。百度贴吧管理组

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网上有很多0.9循环等于1的证明。 但是解决一个错题，不单单需要给出正确答案，还要告诉犯错的人，他们到底错在哪。 讨论严格证明的时候，很多人都会提到戴德金分割。今天才知道出处是李永乐老师那里。但是我感觉吧，其实不管是什么证明，讨论这个问题，却不讨论0.9的循环到底是什么，其实都是在换一种方式回避问题。 这个问题的本质其实是，那些不承认0.9循环等于1的人其实没有明确0.9的循环到底是什么意思。 0.9的循环到底是什么？ 我们

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申请人：@1052159002 申请感言：我申请成为0.9吧的吧主，会认真管理这个贴吧。

如果按照ε-N极限的定义，极限值为1没有异议。 然而认为0.999...和1不相等的，似乎从来没有给出过0.999...的定义。

考虑数列0.9，0.99，0.999，…… An=1-10^(-n) ∀ε>0，∃正整数N，n>N时|1-An|<ε。 假设1-0.999...>0，我们取ε=1-0.999... |1-An|=1-An<ε ⇔10^(-n)<1-0.999... ⇔n>-lg(1-0.999...) 接下来，奇迹出现了。 已知An=1-10^(-n)，ε=1-0.999... 那么对于满足条件的n，An>1-ε=0.999... 即0.999...9(n个9)>0.999...（无限小数）！！ 到这里就明显矛盾了，要是不服，两边减一下，0>0.000...0999...，右边正数，矛盾。

0.9<1，0.99<1，0.999<1…… 那么0.999...<1 然后…… 1.4是有理数，1.41是有理数，1.414是有理数 那么√2是有理数 3.1是有理数，3.14是有理数，3.141是有理数， 那么π是有理数 好了，按照这个方法我能证明任意实数都是有理数辣

最近有空，再写写吧。 如果想不通的朋友，可以这么考虑。1-0,9循环等于几？ 设x=1-0.9循环。 问自己几个问题。 1，x是否是有理数？ 如果不是，恭喜你，你已经推翻了有理数的加法群的封闭性，你不用研究0.9循环这种低端货了，赶紧把材料整理整理，今年的菲尔兹奖非你莫属，这应该是继罗素悖论之后一个最惊人的数学发现。 如果是，请看2。 2，x怎么表示？ 如果x是有理数，根据有理数的定义，x可以表示a/b的形式，其中a,b均为整数(b为非零整数)。

假如不存在的话是否就可以证明这两个数相等？

@郭德胜反伪 @崇福朱国明♋ @盐帮小香猪 @问道烟雨中 @滕维建吧1角格点吧姓

既然是0.9这里就不谈0.3，所以请拿出一张纸用最简单的除法算法在纸上去用1除以1，注意，个位不要商1，商0，后面可以正常算了！！！！！！不停地商9之后你会发现还是不等，所以还商9！！！！所以还是不等，所以还商9！！！！注意：这里我想告诉你，之所以会无限循环下去是因为不等！（如果你聪明的话你商10就可以了，不管你在哪一步回头都不会晚，因为商10就相等了哈哈）

平方等于本身的只有0和1。 0.99……最后一位一定是个9， 9*9=1≠9，那么肯定不是1或0

0.9循环环所表示的意思就是这个0.9，0.99, 0.999这个单增数列可以越来越接近但是永远达不到的那个点。 正如这个数列可以越来越接近1，但是永远也达不到1。那些不认为0.9循环等于1的人，恰恰只是看到这个数列肯定到不了1，但是没有看到这个数列同样到不了0.9的循环。 这个在数列内部只能无限接近但是到不了的数字，我们称之为数列的极限。你到不了极限，正如0.后面跟多少个9都不会是1一样。0后面跟多少个9, 也不会是0.9的循环。 实际上，想搞清楚0

如果你认为无限小数是常数，那么0.9循环就等于1；如果你认为无限小数是变量，那么0.9循环就不等于1。当然数学界主流还是把无限小数定义为常数的。

假设0.999...<1 考虑有限小数X=0.999...9(n个9)=1-10^(-n) 则X>0.999... ⇔1-10^(-n)>0.999... ⇔10^(-n)<1-0.999... ⇔n>-lg(1-0.999...) 即当X有-lg(1-0.999...)位以上时，X>0.999... 两边同减去X有0>0.000...0999... 而0.000...0999...为正数，矛盾。

设0.999...=x。 ①10x=9.999... ②10x-x=9.999...-0.999...=9+0.999...-0.999...=9，9x=9 ③x=1 你说出来哪一步错？ 【9x，不是等于9×0.9的循环吗】 ②10x-x=9.999...-0.999...=9+0.999...-0.999...=9 9x=9是从这一步推出来的！一种东西可以有很多种表示方法！这一步有错？ 【9x，这么就等于9了，你自己看看你自己的方式，是不是有病】我去，这也可以推翻一个理论？9x≠9你给出个证据？ ②10x-x=9.999...-0.999...=9+0.999...-0.999...=9这一步有错？ 【关键在于，都【无限】了，怎么×10，不×10，讲

既然认为1=0.999……，那么1-0.999……=1/10^n（等比数列可得）=0，综上可得，我们可以随便的把1/10^n看成0，那么1=（10^n）*（1/10^n）=（10^n）*0=0竟然你都认为1=0了，那我也不好意思说你错了，还有非要找一个0.999……和1之间的数，你看0.999……+1/（2*10^n）可好

您好

大家的疑问是0.9循环和1相等不相等，首先我要说即相等又不相等！！！相等是因为不论0.9循环还是1还是2，在坐标轴上它们都不过是一个无限小的点，这里相等但没有大小之分，如果说比大小那就不相等，数学里的比大小一般就是在坐标轴上看谁的位置在前边即坐标轴箭头的方向，当然1在0.9循环的前边而且它们挨着！！有的人喜欢用运算的方式比较它们的大小，但是运算存在一个基准点就是原点0，运算是另一种比较大小的概念。在运算的过程中1是另

相等的定义都没有 怎么讨论两个数相等？

所谓通俗的办法，自然是不会用高数里面那些严格的定义的。 设 x = 0.99... 如果一个人认为 x < 1， 你就问他 x + x 等于几？ 如果回答 x + x = 2，那么 x + x = 2 = 1 + 1 > 1 + x => x > 1 矛盾 如果回答 x + x = 1.99... ， 那么 x + x = 1.99... = 1 + x => x = 1 矛盾 如果回答 x + x = 1.9899...，那么 x + x = 1.9899... = 1 + 0.9899.. => 1 - x = x - 0.9899.. = 0.01 => x = 1 - 0.01 = 0.99 矛盾 至于回答 x + x > 2 的奇葩，要么是脑路清奇自创了一种新的实数、大小的定义，要么就是纯搞事

　　首先你要明白，数学里，在未定义某个事物之前讨论它的性质是一件危险的事情。我现在问你0.99...和1分别是什么？你肯定会回答1是自然数，而0.99...是不是有理数并不是那么显而易见，所以你肯定会回答是“实数”，那我现在问你“实数”是什么？你肯定支支吾吾答不上来，只能在心里烂明白。那我请问，你连你研究的对象是什么都没搞明白就开始研究它的性质，你的勇气哪来的？ 　　　　　 　　在实数未定义之前讨论它们的性质难道不是一件

本人不才，想探讨一下。 首先，关于x方程的解法是不成立的，因为0.9...是一个无限循环小数，它本身亦是过程亦是结果，你说设x=0.9...但0.9...它本身就

首先。先说明一下。如果要看懂完全严谨的证明。那么请确保你至少能看懂高等数学。这是我觉得一个应该没有漏洞的证明。大家看下吧http://www.zhihu.com/question/19607903/answer/20456641

那么1-0.99999999999……是什么……

首先，对于这个命题，就没人质疑么？本就是个伪命题，还一本正经的带着人往下推导。 为什么是伪命题，他错就错在把≈换成了＝，1/3＝0.33...333？谁教的？哪个数学老师这么教的？误人子弟么？ 这尼玛是约等于好不好，这里是个约等号，我清楚的记得我的启蒙老师是明确告诉我们这里是约等于，但是为了方便计算，所以以后默认将1/3看成等于0.33...333。话说，所谓的高材生，所谓的各种高数函数微积分玩的溜溜的大神们，这么明显的错误，看不见

①1=1/3×3=0.333……×3=0.999……（最简洁的证明方法） ②0.999……=0.999……×(10-1)÷9=(0.999……×10-0.999……)÷9=(9.999……-0.999……)÷9=9÷9=1 ③1/9=0.111……。。。2/9=0.222……。。。3/9=0.333……。。。4/9=0.444……。。。以此类推9/9=0.999……=1 ④0.999……=0.9+0.09+0.009+0.0009+……=(0.9×10-0)/(10-1)（等比数列求和公式）=1 ⑤根据无限循环化成小数的方法，0.999……=9/9=1（也很简洁） ⑥把实数映射到数轴上，发现0.999……和1所对应的点重合，因为0.999……和1的点之间没有

1/9=0.11111....... 2/9=0.22222....... =2* 1/9=2*0.1111..... 3/9=0.33333....... =3* 1/9=3*0.1111..... ........ ....... ................. 8/9=0.88888....... =8* 1/9=8*0.1111.... 9/9=1=9* 1/9=9*0.1111....=0.9999..... 按照我的推理，0.9999....确实等于1。 但是有人会反驳。 这个问题大家也来解释哈吧。

我们先考虑所有小于1的正实数，比如q<1,那么我们就能找到另外一个实数p=(1+q)/2。显然1>p>q,这说明了任意给一个“小于1的实数”，总可以找到一个比它大的“小于1的实数”，如果0.9...<1，那么可以找到实数a使得:0.9...<a<1，但是0.9...的每一位都是最大的9，所以不存在大于它的a(你要比它大至少某一位比它大吧)。所以说0.9...不是“小于1的实数”，0.9...=1

已知1不等于1求证1+1不等于2

证明自己写，只要你能写出来我就能到到错误。

如果能找到这个的错误那暂时我就真的能确定0.999999……不等以1了。 另外，说有一个用除法竖式来证明0.99999……=1的方法，结果现在找不到了，谁知道的话能帮忙发一下吗？谢了。

如果0.00000.........1=0，那么0.00000.........1x10000000........=1，0x10000000........=1，而0乘以无穷大也是0，因此，0.00000.........1不等于0，大于0.